Проверка части С. Пожалуйста, оцените решения задач части С самостоятельно, руководствуясь указанными критериями

Пожалуйста, оцените решения задач части С самостоятельно, руководствуясь указанными критериями.

Начало формы

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно решено уравнение и произведен отбор корней
Верно решено уравнение, но не произведен или не обоснован отбор корней, принадлежащих данному отрезку, или верно указаны все корни, принадлежащие данному отрезку, но решение простейших тригонометрических уравнений не доведено до конца
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

А) Решите уравнение

Б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

А) Преобразуем уравнение, получаем Значит, или где В первом случае во втором случае где Первая серия решений входит во вторую.

Б) Отметим решения на тригонометрической окружности. Отрезку принадлежат корни и

Ответ: А) Б)

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2

Комментировать

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Решение содержит переход к планиметрической задаче, но: - получен неверный ответ или решение не закончено; - при правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна а угол ACB равен . Найдите расстояние от точки А до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 12.

Решение.

Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую и проведем в плоскости грани прямую EF, параллельную прямой . Так как , то и , а, значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку , то , а, следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:
1) из : ;
2) из : .

Ответ: 15.

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2

Комментировать

Содержание критериев оценивания задачи С3	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек.
Все прочие случаи.

Решите систему неравенств

Решение.

Область допустимых значений неравенства задается соотношением

.

На области допустимых значений справедливы равносильности:

,

.

Поэтому на ОДЗ имеем:

.

Заметим, что

.

Поэтому

.

Окончательно имеем:

Ответ: .

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2 3

Комментировать

Содержание критериев оценивания задачи С4	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ.
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ.
Все прочие случаи.

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Решение.

Пусть окружность S с центром O и радиусом R пересекает стороны данного прямого угла в точках A и B, , искомая окружность с центром Q касается сторон и BC угла ACB в точках N и K соответственно, а окружности S — в точке M.

Точка O — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, поэтому O — середина его гипотенузы AB.

.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки M, O и Q лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности S на прямую BC. Тогда OH — средняя линия треугольника ABC поэтому и , а т.к. центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то , поэтому .
Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую OH. Тогда

.

Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора
или

откуда находим, что .

Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то

.

Тогда из соответствующего уравнения находим, что .

Ответ: 4 или 24.

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2 3

Комментировать

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Максимальный балл

При каких значениях параметра а система имеет решения?

Решение.

Перепишем исходную систему в виде

Отсюда приходим к системе

или к системе

Решая первое уравнение этой системы, находим, что

.

Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения а находятся из неравенства

,

решая которое, получаем .
Ответ: .

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2 3 4

Комментировать

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены: а), б), в)
Верно выполнены б) и один пункт из двух: а), в)
Верно выполнено б) или а) и в)
Верно выполнен один пункт из двух: а), в)
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение.

Пусть — количество последовательных членов геометрической прогрессии, произведение которых делит . Заметим, что

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

Конец формы