Построчное вращение матрицы

В ходе данной операции каждая строка матрицы данных, кроме первой, вращается (циклически сдвигается) влево на определенное число позиций, зависящее от номера строки и от размера блока данных:

, 1£i£4, 1£j£n.

Первая строка всегда остается на месте: С₁ = 0, для нее приведенная выше формула существенно упрощается: z_1j = y_1j. Ниже в таблице приведены величины сдвига для строк матрицы со второй по четвертую в зависимости от числа столбцов n в матрице:

Умножение на постоянную матрицу

На этом шаге матрица данных слева умножается на постоянную матрицу-циркулянт M:

X = M´X,

При выполнении матричного умножения операции сложения и умножения элементов обеих матриц выполняются в конечном поле GF(2⁸). Матрица M является циркулянтом: каждая ее строка получается циклическим сдвигом предыдущей строки вправо на один элемент. Элементы матрицы выбраны таким образом, чтобы свести к минимуму трудоемкость операции умножения: в ней присутствуют лишь небольшие по значению числа 01, 02 и 03, половина элементов - единичные, т.е. реального умножения выполнять для них не требуется. Этим самым обеспечивается высокая эффективность возможных реализаций этой операции.

Следует добавить, что операция умножения в конечном поле GF(2⁸) является достаточно трудоемкой в программной реализации и никаким образом не сводится к обычному арифметическому умножению. Если умножение двоичных чисел реализуется сдвигами и обычным арифметическим суммированием, то умножение полиномов над полем GF(2) - теми же сдвигами и побитовым суммированием по модулю 2. Однако в шифре Rijndael одним из множителей всегда является константа и размер операндов невелик - один байт. Это позволяет реализовать умножение на константу в поле GF(2⁸) как замену, что существенно повышает эффективность программной реализации. Для каждого множителя-константы при этом требуется свой отдельный узел замен. Напротив, наиболее эффективной аппаратной реализацией этой операции является реализация в виде серии сдвигов и побитовых сложений по модулю два в соответствие с ее непосредственным определением.