Доказательство закона больших чисел

Проведем это доказательство в два этапа. Сначала предположим, что существует, и заметим, что в этом случае D(S„) по теореме о дисперсии суммы. Согласно неравенству Чебышева, при любом t > 0

(2.1)

При t > n левая часть меньше, чем , а последняя величина стремится к нулю. Это завершает первую часть доказательства.

Отбросим теперь ограничительное условие существования D(). Этот случай сводится к предшествующему методом усечения.

Определим два новых набора случайных величин, зависящих от , следующим образом:

U_k= , V_k=0, если (2.2)

U_k=0, V_k= , если

Здесь k=1,…, п и фиксировано. Тогда

=U_k+V_k (2.3)

при всех k.

Пусть {f( _j)} — распределение вероятностей случайных величин (одинаковое для всех _j). Мы предположили, что = M() существует, так что сумма

(2.4)

конечна. Тогда существует и

(2.5)

где суммирование производится по всем тем j, при которых . Отметим, что хотя и зависит от п, но оно одинаково для

U₁, U_2,..., U_n. Кроме того, при , и, следовательно, для произвольного > 0 и всех достаточно больших n

. (2.6)

Далее, из (2.5) и (2,4) следует, что

(2.7)

U_k взаимно независимы, и с их суммой U₁+U₂+…+U_n можно поступить точно так же, как и с X_k в случае конечной дисперсии, применив неравенство Чебышева, мы получим аналогично (2.1)

(2.8)

Вследствие (2.6) отсюда вытекает, что

(2.9)

Далее заметим, что с большой вероятностью V_k = 0. Действительно,

(2.10)

Поскольку ряд (2.4) сходится, последняя сумма стремится к нулю при возрастании n. Таким образом, при достаточно большом п

P{V_k 0} (2.11)

и следовательно

P{V₁+…+V_n 0} . (2.12)

Но , и из (2.9) и (2.12) получаем

(2.13)

Так как и произвольны, правая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и завершает доказательство.