Теорема 2. 7 страница

.

Элемент объема в криволинейных координатах выражается формулой:

.

Модуль якобиана представляет собой коэффициент растяжения объема в точке при отображении области пространства на область Т пространства .

118. Криволинейный интеграл первого рода.

Пусть L – простая, спрямляемая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная параметрическими уравнениями , и пусть на кривой L определена функция . Разобьем сегмент на n частей точками . При этом кривая L разобьется на n частей точками . Обозначим через длину дуги , выберем на каждой такой дуге некоторую точку и составим интегральную сумму . Пусть .

Число I называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения кривой L, у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Если существует , то число I называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой L и обозначается .

119. Криволинейный интеграл второго рода.

Пусть АВ – простая, спрямляемая незамкнутая кривая, заданная параметрическими уравнениями . Пусть на кривой АВ заданы двефункции . Разобьем сегмент на n частей точками . При этом кривая АВ разобьется на n частей точками в направлении от А к В. Пусть – координаты точки – длина дуги , . Выберем на каждой такой дуге некоторую точку и составим интегральные суммы , .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения кривой АВ, у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Если существует , то он называется криволинейным интегралом второго рода и обозначается , .

Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода и обозначается так: .

120. Формула Грина. Пусть G – ограниченная область на плоскости (x,y) с кусочно-гладкой замкнутой границей Г. При условии непрерывности функций , , , на имеет место формула .

121. Способы задания поверхности ():

1) явное: уравнением , а также или ;

2) неявное: уравнением ;

3) параметрическое: , , где – непрерывные функции в области g. Переменные u и v называются параметрами.

122. Определение. Поверхность Ф называется гладкой, если для любой ее внутренней точки существует такая окрестность, которая вырезает часть поверхности Ф, допускающую явное представление вида , или , где f – непрерывно дифференцируемая функция.

Из этого определения следует, что в каждой внутренней точке гладкой поверхности, заданной, например, уравнением

,

существует касательная плоскость и нормаль.

Уравнение касательной плоскости в точке поверхности над точкой имеет вид

.

Вектор нормали:

.

123. Определение. Поверхностный интеграл 1-го рода.

Пусть на квадрируемой поверхности Ф определена функция . Разобьем Ф кусочно-гладкими кривыми на n квадрируемых частей . На каждой части выберем произвольную точку и составим интегральную сумму , где – площадь . Пусть – диаметр , .

Число I называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения Ф, у которого , и для любого выбора точек выполняется неравенство .

Предел I интегральных сумм называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности Ф и обозначается или .

124. Определение. Поверхностный интеграл 2-го рода.

Пусть Ф – гладкая или кусочно-гладкая ограниченная поверхность. Выберем одну из ее сторон, определяемую полем нормалей . Пусть – углы, которые вектор составляет с осями координат, и пусть на поверхности Ф заданы три функции .

Определение. Поверхностные интегралы первого рода

называются поверхностными интегралами второго рода соответственно от функций P, Q, R по выбранной стороне поверхности Ф.

Они обозначаются также следующим образом:

.

Сумма называется общим поверхностным интегралом второго рода.

Физический смысл поверхностного интеграла второго рода.

Запишем общий поверхностный интеграл второго рода в виде

.

Направляющие косинусы являются координатами единичного вектора нормали n (M) к поверхности Ф в точке М. Если ввести вектор , то подынтегральное выражение будет представлять собой скалярное произведение векторов а (M) и n (M), а интеграл П можно записать в виде . Последний интеграл называется потоком вектора (векторного поля) через выбранную сторону поверхности Ф (определяемую вектором n (M)). В частности, если – скорость течения жидкости в точке М, то представляет собой поток жидкости через выбранную сторону поверхности Ф.

125. Определение. Трехмерная область G называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура L, лежащего в G, внутри области G найдется поверхность, ограниченная контуром L.

Примеры: шар, область между концентрическими сферами.

Пример поверхностно неодносвязной области – тор.

126. Определение 1. Говорят, что в области G трехмерного пространства задано скалярное поле, если каждой точке поставлено в соответствие некоторое число u (M).

Поверхность (линия), на которой функция u (M) принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля.

Примеры:

1) поле температур какого-либо тела;

2) поле плотности зарядов на какой-либо поверхности или в сплошной среде;

3) поле плотности масс какого-либо тела.

Определение 2. Говорят, что в области G трехмерного пространства задано векторное поле, если каждой точке поставлен в соответствие некоторый вектор а (M).

Кривые, в каждой точке М которых вектор а (M) направлен по касательной к кривой, называются векторными линиями.

Примеры:

1) электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряженности Е;

2) магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции В;

3) поле тяготения, создаваемое системой масс и характеризующееся в каждой точке вектором силы тяготения F, действующей в этой точке на единичную массу;

4) поле скоростей потока жидкости, описываемое в каждой точке вектором скорости v.

127. Определение 1. Поверхность (линия), на которой функция u (M) принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля.

Определение 2. Геометрической характеристикой векторного поля а (М) являются векторные линии – кривые, в каждой точке М которых вектор а (М) направлен по касательной к кривой.

128. Скалярное и векторное поля u (M) = u (x, y, z) и a (M) = { P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y,z)} называются дифференцируемыми n раз, если функции u (x, y, z), P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) дифференцируемы n раз. Будем считать, что рассматриваемые поля дифференцируемы нужное число раз.

Пусть u (M) – скалярное поле, заданное в области G; l – единичный фиксированный вектор; М – фиксированная точка; М′ – любая точка из G, отличная от М и такая, что вектор ММ ′ коллинеарен l. Пусть также ММ ′ – величина направленного отрезка ММ ′ (она равна его длине , если векторы и l сонаправлены, и равна – , если они противоположно направлены).

Определение 1. Число называется производной скалярного поля u (M) (функции u (M)) в точке М по направлению l и обозначается символом .

Производная по направлению является скоростью изменения функции u (M) по направлению l в точке М.

Если в прямоугольной системе координат Oxyz l = { }, то

(эта формула показывает связь производной скалярного поля по направлению с частными производными).

Определение 2. Вектор называется производной векторного поля а (М) (вектор-функции а (М)) в точке М по направлению l и обозначается символом .

Если в прямоугольной системе координат Oxyz a (M) = { P, Q, R }, то

.

Эта формула показывает связь производной векторного поля по направлению с частными производными.

129. Определение. Градиентом скалярного поля u (x, y, z) называется вектор-функция

grad u = .

Производная по направлению l связана с градиентом скалярного поля в данной точке следующим образом:

.

130. Определение. Векторное поле а (М) называется потенциальным в области G, если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля u (M): .

Функция u (M) называется скалярным потенциалом векторного поля а (М). Если a = { P, Q, R }, то

.

Примеры потенциальных полей:

1) Поле тяготения точечной массы m, помещенной в начале координат.

2) Электрическое поле точечного заряда е, помещенного в начале координат.

Поверхности уровня потенциала u (M) называются эквипотенциальными поверхностями. В рассмотренных примерах эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в начале координат.

131. Определение. Дивергенцией векторного поля а = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k называется скалярная функция

div a = .

Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

132. Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля а = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k называется вектор-функция

rot a = = .

Ротор характеризует завихренность поля а в данной точке.

133. Определение. Векторное поле называется безвихревым, если его ротор равен нулю.

Примером безвихревого поля является потенциальное поле.

134. Определение. Векторное поле а (М) называется соленоидальным в области G, если в этой области

div a = 0.

Так как div a характеризует плотность источников поля а, то в той области, где поле а соленоидально, нет источников этого поля.

Примеры:

1) Электрическое поле Е точечного заряда соленоидально всюду вне точки, где находится заряд.

2) Магнитное поле, создаваемое током в проводнике.

Любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей.

135. Определения. Векторное поле а (М) называется потенциальным в области G, если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля u (M): .

Функция u (M) называется скалярным потенциалом векторного поля а (М).

Если векторное поле а (М) можно представить как ротор некоторого векторного поля b (M), т. е.

а = rot b,

то вектор-функция b (M) называется векторным потенциалом поля а (М).

136. Уравнения Максвелла – фундаментальные уравнения классической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме). Они связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, т.е. напряженность электрического поля Е, электрическую индукцию D, напряженность магнитного поля Н и магнитную индукцию В с источником поля, т. е. с распределением в пространстве электрических зарядов и токов.

В дифференциальной форме уравнения Максвелла записываются с помощью понятий дивергенции и ротора:

I. rot H = j + .

Это уравнение является обобщением закона Био-Савара и выражает тот факт, что магнитное поле порождается токами проводимости и токами смещения.

II. rot E = – .

Это уравнение выражает закон электромагнитной индукции Фарадея и показывает, что одним из источников электрического поля является изменяющееся во времени магнитное поле.

III. div B = 0.

Это уравнение выражает факт отсутствия магнитных зарядов (соленоидальность магнитного поля).

IV. div D = ρ.

Это уравнение выражает закон Кулона и показывает, что вторым источником электрического поля являются электрические заряды с плотностью ρ.

К уравнениям Максвелла следует присоединить так называемые материальные уравнения поля.

V. D = ε E.

VI. B = µ H.

VII. j = σ E

Здесь ε – диэлектрическая проницаемость, µ – магнитная проницаемость, σ – удельная проводимость среды.

137. Оператор Гамильтона. Символ называется оператором частной производной по x. Под произведением этого оператора на функцию u = u (x, y, z) будем понимать частную производную , т. е. . Аналогично, и – операторы частных производных по y и по z.

Тогда, с учетом введенных обозначений, введем векторный оператор «набла», или оператор Гамильтона:

.

138. В результате формального умножения вектора (оператора Гамильтона) на скалярную функцию u (x, y, z) получается градиент скалярного поля grad u:

grad u.

Скалярное произведение вектора на вектор-функцию a (x, y, z) = P i + Q j + R k дает дивергенцию векторного поля div a:

div a.

Векторное произведение вектора на вектор-функцию a (x, y, z) = P i + Q j + R k дает ротор векторного поля rot a:

= rot a.

Формулу для производной скалярного поля по направлению l с помощью оператора можно записать в виде .

Символ называется оператором производной по направлению l.

Используя оператор производной по направлению, запишем с помощью оператора Гамильтона производную векторного поля а по направлению l: