Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач

В современной методической и психологической литературе принята классификация задач. По характеру требования:

— задачи на доказательство;

— задачи на построение;

— задачи на вычисление.

По функциональному назначению:

— задачи с дидактическими функциями;

— задачи с познавательными функциями;

— задачи с развивающими функциями.

По величине проблемности:

— стандартные;

— обучающие;

— поисковые;

— проблемные.

По методам решения:

— задачи на геометрические преобразования;

— задачи на векторы и др.

По числу объектов в условии задачи и связей между ними:

— простые;

— сложные.

По компонентам учебной деятельности:

— организационно-действенные;

— стимулирующие;

— контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.

При организации процесса обучения учащихся решению математических задач учитель сталкивается с вопросами: задачи какой сложности предложить ученикам, знакомы ли школьники с теми действиями, которые нужно применить при решении задач и т.п.

Если взять за основу следующую классификацию задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, то такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.

В задаче выделяют основные компоненты:

1. Условие — начальное состояние;

2. Базис решения — теоретическое обоснование решения;

3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;

4. Заключение — конечное состояние.

Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической, если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.

На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.

Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача назевается поисковой, а если три — проблемной.

Если рассматривать задачи как объект мыслительной деятельности учащихся, важно учитывать характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников при решении задач, которое во многом определяется указанными связями.

Классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:

— алгоритмические задачи;

— полуалгоритмические задачи;

— эвристические задачи.

Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.

Полуалгоритмические задачи — задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны две стороны треугольника и высота, опущенная на третью сторону. Необходимо найти периметр треугольника.

Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он начинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.

Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.

При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.