В. Математическое приложение

Пусть производственная функция выглядит так (тема 6, п. 1):

q=AK^aL^b

Параметры А, α и β нам известны. Известна также функция совокупных затрат – изокоста:

TC=P_K*K+P_L*L

Фирме надо определить оптимальную комбинацию труда и капитала, позволяющую достичь максимального выпуска при заданных совокупных затратах и ценах труда и капитала.

Выше было приведено графическое решение этой задачи: наилучшая комбинация факторов производства соответствует точке касания заданной изокосты и самой высокой из доступных изоквант. Теперь ту же задачу предстоит решить аналитически.

Мы помним, что в точке оптимальной комбинации факторов соблюдается равенство:

Функции предельных продуктов труда и капитала можно получить, взяв производные производственной функции соответственно по труду и по капиталу (тема 6, п. 2):

и

Таким образом:

и

Следовательно:

Вспоминаем о функции совокупных затрат и получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (L и K):

TC=P_K*K+P_L*L и

Решая эту систему, находим оптимальные величины труда и капитала:

и