Пример 3.2. Пусть в том же испытании нас интересует событие «выпадение 5 очков»

Пусть в том же испытании нас интересует событие «выпадение 5 очков». Соответствующее множество .

Итак, событие — это некоторое множество возможных исходов испытания. Математической моделью события в теории вероятностей является множество. Если это множество содержит один элемент, как в примере 3.2, то событие (исход) называется элементарным.

Множество всех элементарных исходов испытания называется пространством элементарных событий данного испытания. В примере 3.1 .

Очевидно, событие всегда является некоторым подмножеством пространства элементарных событий: (пример 3.1).

Если , то говорят, что элементарный исход благоприятствует событию А. Так в примере 3.1 событию «выпало четное число очков» благоприятствуют элементарные исходы , и .

Это означает, что событие совершается, если наступает хотя бы один из исходов или , или .

Итак, с каждым испытанием связано некоторое множество – пространство элементарных событий этого испытания.

Очевидно, выбор пространства элементарных событий в каждом случае должен сообразовываться со смыслом конкретного испытания. Так, при подбрасывании игральной кости напрашивается «естественный» выбор пространства элементарных событий: . Но, допустим, игра заключается в ставках на «чет» — «нечет». Тогда нет нужды различать исходы , , так же, как и исходы , , . В этом случае события и следует считать элементар­ными, и пространство элементарных событий имеет вид .

Множество , как и всякое множество, связанное с испытанием, является событием. Оно наступает при любом исходе испытания, так как при всех . Поэтому множество называют достоверным событием. Обычно достоверное событие обозначается U. Таким образом, . Пустое множест­во интерпретируется как невозможное событие. В реаль­ной ситуации это событие, которое никогда не наступает в данном испытании. Невозможное событие обычно обознача­ется V, т. е. V = .

Операции над событиями – сумма, произведение и разность – определяются как соответствующие операции над множествами.

Пусть и являются подмножествами пространства , т. е. событиями, которые могут произойти в результате одного и того же испытания.

Суммой (или объединением) событий и будет событие + (или ), элементарные исходы которого благоприятствуют хотя бы одному из событий или В. В реальном испытании это означает, что происходит, по крайней мере, одно из событий А или В (возможно, имеют место оба события).

Произведением (или пересечением) событий и называется событие АВ (или ), элементарные исходы которого благоприятствуют и и В. В реальном испытании событие АВ заключается в том, что имеют место и событие и событие В.

Разностью событий и называется событие , элементы которого благоприятствуют событию , но не благоприятствуют B. В реальном испытании событие заключается в том, что A произошло, а не произошло. На рис.3.1 приведены соответствующие диаграммы Эйлера-Венна.

а б в

Рис 3.1

Рис. 3.2

Событие называется противоположным событию (рис.3.2). Появление события в испытании исключает возможность осуществления события А. Очевидно, , .

События и называются несовместными, если (или то же самое можно записать ).

Очевидно, противоположные события несовместны: , (или тоже самое можно записать так ).

С помощью введенных операции из некоторых заданных событий можно конструировать сложные события.