Основные законы распределения случайных величин

Основными законами распределения для дискретных случайных величин являются следующие.

Равновозможное распределение. Случайная величина принимает n значений с одинаковой вероятностью, равной 1/ n. Такое распределение имеет место в схеме с классическим определением вероятности.

Биномиальное распределение. Это распределение для числа успехов в схеме Бернулли с п испытаниями и вероятностью успеха в одном испытании р. Число успехов принимает значения от 0 до п, вероятность для каждого значения определяется формулой Бернулли Р_n (m) = . Можно показать, что математическое ожидание этой случайной величины равно np, дисперсия npq.

Для непрерывных случайных величин имеем следующие основные законы распределения.

Равномерное распределение. Случайная величина принимает значения на отрезке [ a, b ] с постоянной плотностью вероятности. Значение плотности вероятности . Математическое ожидание – это середина отрезка.

Нормальное распределение. Это наиболее часто встречающееся на практике распределение. Плотность вероятности задается формулой

.

График плотности вероятности имеет вид холма. Абсцисса вершины холма находится в точке а, это математическое ожидание случайной величины.

Точки перегиба графика имеют абсциссы, отстоящие от а на σ в обе стороны. Среднее квадратичное отклонение равно σ.

Площадь фигуры, ограниченной графиком и осью абсцисс, равна 1. Примерно 2/3 этой площади сосредоточена на отрезке [ a – σ, a + σ], такова вероятность попадания значения случайной величины в этот отрезок. Действует правило трех сигм»: вероятность того, что значение случайной величины окажется вне отрезка [ a – 3σ, a + 3σ], равна 0,3%, то есть это практически невозможное событие.

Нормальное распределение полностью задается своими параметрами а и σ. При изменении а холм передвигается вправо или влево. При изменении σ меняется крутизна холма при этом площадь под ним остается равной 1. При увеличении σ холм становится более пологий, при уменьшении – более крутой. В соответствии с правилом трех сигм это означает, что при уменьшении σ разброс значений случайной величины становится все меньше, то есть эта величина становится все более определенной.