События. Равенство событий. Сумма и произведение событий. Противоположные события

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем А Ì В.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Условившись обозначать наступление события цифрой «1» и ненаступление – цифрой «0», сумму и произведение двух событий, а также противоположное событие можно определить следующими таблицами:

А	В	А+В	АВ		А

Пример 1. Опыт состоит в бросании игральной кости. Событие А_i, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – выпадение i очков; событие А – выпадение четного числа очков, В – выпадение нечетного числа очков, С – выпадение числа очков, кратного трем, и D – выпадение числа очков, большего трех. Выразите события А, В, С и D через А_i, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А₂, или А₄, или А₆. Это означает, что А = А₂ + А₄ + А₆.

Рассуждая аналогично, имеем:

В = А₁ + А₃ + А₅, С = А₃ + А₆ и D = А₄ + А₅ + А₆.

Пример 2. С помощью таблиц, определяющих А + В, АВ и , доказать равенство А + = А + .

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:

А	В		А+		А	В				А+

Последние столбцы этих таблиц одинаковы, что и означает справедливость равенства А + = А + .

Пример 3. С помощью таблицы перечислите все случаи наступления и ненаступления события А + С в зависимости от наступления и ненаступления событий А, В и С.

Решение. Составим таблицу:

А	В	С		А	А + С

Пример 4. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки соответственно в области А, В и С (рис.1). Что означает событие АВ + С?

Решение. События АВ + С означает попадание точки в область (А Ç В) È С, которая на рисунке 2 заштрихована.