Геометричні ймовірності

Класичне визначення ймовірності не можна застосовувати до випробувань, число виходів яких нескінченне. Тоді вводять поняття геометричної ймовірності,тобто ймовірності попадання точки в дану частину площини.

Нехай відрізок l є частиною відрізка L. На відрізок L навмання поставлено точку. Це означає, що виконується одне з таких припущень: точка, що поставлена, може виявитися в будь-якому місці відрізка L,ймовірність влучення точки навідрізок l пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування відносно відрізка L. За цих припущень ймовірність влучення точки на відрізок l можна визначити такою рівністю:

Р = довжина l / довжина L.

Нехай пласка фігура g є частиною фігури G. На фігуру G навмання кинуто точку. Це означає, що виконується одне з таких припущень: поставлена точка може виявитися в будь-якому місці фігури G, ймовірність влучення точки у фігуру g пропорційна площі фігури g і не залежить від її розташування відносно фігури G та форми фігури g. За цих припущень імовірність влучення точки у фігуру g можна визначити такою рівністю:

Р = площа g / площа G.

П р и к л а д 1.1. Нехай X та Y – випадкові дійсні числа, значення яких рівноймовірні в інтервалі (– 2; 2). Знайти ймовірність того, що виконується така умова: X ²+ Y ²<1.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Дамо геометричну інтерпретацію цієї задачі (рис.1.1).

	Усі рівноймовірні виходи відповідають влученню точки на площині X O Y у середину квадрата ABCD (тобто, –2 < X < 2 й –2 < Y < 2). Сприятливі виходи відповідають влученню точки усередину кола одиничного радіуса із центром на початку координат (тобто умові, що X 2 + Y 2 < 1). Шукана ймовірність при цьому дорівнює відношенню площі кола до площі квадрата, тобто .
Рис.1.1	Відповідь: .