Ответ: 7/16 13 страница. Сделаем замену x = 3sin t, dx = 3cos t dt, тогда окончательно имеем D(x) = 9/2

D(x) =

Сделаем замену x = 3sin t, dx = 3cos t dt, тогда окончательно имеем D(x) = 9/2.

б) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), определяется равенством:

P (a < x < b) =

Тогда P (-3 < x < 1) = 0,5 + (1/π)arcsin(1/3)

P (1 < x < 3) = 0,5 - (1/π)arcsin(1/3)

Получаем, что вероятнее в результате испытания окажется x < 1.

#294

Условие задачи:

Доказать, что дисперсию непрерывной случайной величины X можно вычислить по формуле:

D(X) =

Указание: Воспользоваться формулой

D(X) = (1)

и равенствами . (2)

Решение задачи:

Дисперсия непрерывной случайной величины Х ищется по формуле:

D(X) =

Преобразуем эту формулу следующим образом:

D(X) = =

Воспользовавшись равенствами (2), получим:

D(X) =

Ч.т.д.

#295

Условия задачи:

Случайная величина X в интервале (0, π) задана плотностью распределения

f(x) = .

Вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию X.

Решение задачи:

Найдем дисперсию по формуле:

D(X) =

Подставив сюда M(Х) = π/2 (кривая распределения симметрична относительно прямой x = π/2), а = 0, b = π, f(x) = , получим:

D(X) =

Дважды интегрируя по частям, найдем

Тогда получим

#296

Условие задачи:

Случайная величина X в интервале (0, 5) задана плотностью распределения

;

вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию X.

Решение задачи:

Найдем дисперсию по формуле:

D(X) =

где М(x) – математическое ожидание величины Х, вычисляемое по формуле:

М(X) =

Взяв a = 0, b = 5, , получим

Тогда D(X) =

#297

Условие задачи:

Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения

0 при x ≤ -2

F(x) = при -2 < x ≤ 2

1 при x > 2.

Решение задачи:

Найдем плотность распределения

0 при x ≤ -2

f(x) = F’(x) = ¼ при -2 < x ≤ 2

0 при x > 2

Найдем математическое ожидание по формуле

М(X) =

M(X) = ,

т.к. подынтегральная функция нечетная, и пределы симметричны относительно начала координат.

Найдем искомую дисперсию по формуле:

D(X) =

D(X) =

#298

Условие задачи:

Случайная величина задана функцией распределения

F(x) = при x ≥ ( > 0),

0 при x < .

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Указание: Найти сначала плотность распределения, использовать формулу:

D(X) =

Решение задачи:

Найдем плотность распределения:

при x ≥ ( > 0),

f(x) = F’(x) = 0 при x < .

Найдем математическое ожидание по формуле

М(X) =

M(X) =

Найдем дисперсию по формуле:

D(X) =

D(X) =

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X находится по формуле:

#299

Условие задачи:

Случайная величина X в интервале (0, π) задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти дисперсию функции , не находя предварительно плотности распределения Y.

Решение задачи:

Для вычисления дисперсии используем формулу:

D[φ(x)] =

Подставив , , a = 0, b = π, получим

= M [ ] =

Тогда

Интегрируя по частям, найдем .

Тогда .

#300

Условия задачи:

Случайная величина X задана плотностью распределения в интервале (0, π/2); вне этого интервала . Найти дисперсию функции , не находя предварительно плотности распределения Y.

Указание: Использовать формулу:

D[φ(x)] =

и то, что M() = (см. задачу 283).

Решение задачи:

Для вычисления дисперсии используем формулу:

D[φ(x)] =

Подставив , , a = 0, b = π/2, имея M() = , получим

Интегрируя по частям, найдем .

Тогда