Методические указания для решения задач

Задача 1. Найти указанные пределы

Приступая к решению данного задания, обязательно нужно повторить теорию (определение предела, бесконечно малой и бесконечно большой величины, свойства бесконечно малых, связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, теоремы о пределах, свойства односторонних пределов). Повторяя теорию, старайтесь представить себе поведение функции в окрестности данной точки (в виде картинки).

Если теоремы о пределах применимы, то вычисление пределов сводится к подстановке вместо x его предельного значения:

.

Но в другом примере: подставить вместо x двойку нельзя, так как нельзя делить на 0. Начинаем рассуждать: величина бесконечно малая при ; числитель при является числом, вся дробь при будет величиной, обратной бесконечно малой, т.е. величиной бесконечно большой и, поэтому, .

Заметим, что – не число, а символ, обозначающий бесконечно большую величину. Пределом же функции называется некоторое число (см. определение). Символ говорит о том, что при функция предела не имеет и является бесконечно большой величиной.

При вычислении односторонних пределов функции необходимо учитывать знак бесконечно большой величины:

,

.

Знак при символе разный, так как при величина , а при величина .

Нельзя подставить вместо x его предельное значение x ₀ и в том случае, если под знаком предела бесконечно малая величина стоит не только в знаменателе, но и в числителе. В этом случае говорят, что имеется неопределенность . Чтобы раскрыть неопределенность , нужно в числителе и в знаменателе выделить бесконечно малую (x – x ₀) и на нее сократить.

Например:

1)

2) . Следовательно, нужно выделить бесконечно малую (x – 3) и на нее сократить. Но x стоит под корнем, поэтому нужно умножить числитель и знаменатель на выражения, им сопряженные, чтобы убрать корни.

º

º

º = .

Если в неопределенности есть тригонометрические функции, то нужно выделять первый замечательный предел, т.е. предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, который равен 1.

3)

= .

Раскрытие неопределенности называется сравнением бесконечно малых. Если a(x) и (x) – бесконечно малые величины (б.м.в.) при x®0 и lim =1, то (x) и (x) называются эквивалентными бесконечно малыми величинами и при вычислении пределов в произведениях и в частном одну бесконечно малую можно заменять б.м. величиной, ей эквивалентной.

4) Например: = = | в таблице эквивалентных бесконечно малых находим, что при ®0: –1 , при : ln(1 + ) ~  и, воспользовавшись этим, получаем |=

= .

Нельзя подставить под знак предела предельное значение x и в том случае, если x – бесконечно большая величина (т.е. , следовательно, числового значения х ₀ нет).

Если получается неопределенность вида , то нужно перейти к величинам бесконечно малым, свойства которых нами хорошо изучены. Для этого нужно в выражении под знаком предела числитель и знаменатель разделить на «старшую» бесконечно большую величину (в наших примерах это, как правило, старшая степень х). Например:

5)

=

(при вычислении предела воспользовались соображением, что при , , и – величины бесконечно малые, предел которых равен нулю).

6) Еще одна неопределенность, встречающаяся при вычислении пределов: . Она раскрывается с помощью второго замечательного предела: .

Здесь под знаком предела стоит показательно-степенная функция, у которой основанием является сумма единицы и некоторой бесконечно малой величины, а показателем – бесконечно большая величина, обратная этой бесконечно малой.

Поэтому при раскрытии неопределенности в основании обязательно выделяют 1 (например, прибавив и отняв ее от того выражения, которое стоит в основании).

Например:

=

.

Замечание: В заданиях подобного вида обязательно нужно проверять, стремится ли (по условию) основание к 1.

В качестве примера рассмотрим . Предел, очень похожий по виду на предыдущий, не будет вторым замечательным пределом, так как основание стремится к 4 и результат будет зависеть от того, как – слева или справа:

= = 0,

= =

Задача 3. Найти производную функции z = x² – xy + y² в точке М₀(1; 1):

а) в направлении вектора ;

б) определить градиент z в точке М₀(1; 1), его величину и направление.

Решение:

а) Функцией z = x² – xy + y² определено плоское скалярное поле в точке (х; у). Производная функции z = f(x; y) по данному направлению определяется формулой:

, где cos a, cos b – направляющие косинусы вектора .

В задаче направление определено вектором , его направляющие косинусы

.

Определим частные производные функции в точке М₀(1; 1):

.

Тогда производная по направлению равна = 1×0,6+1×0,8 = = 1,4 > 0. Производная о направлению определяет скорость изменения функции z(x, y) в этом направлении. Так как > 0, то в этом направлении функция z возрастает.

б) grad z есть вектор, указывающий направление набольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. Этот вектор определяется по формуле:

grad z =

Следовательно, grad z = .

Задача 4. Вычислить площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах

Геометрический смысл определенного интеграла от функции заключается в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и графиком функции , т.е.

.

Если плоская фигура ограничена прямыми и графиками функций , причем для всех точек на отрезке , то её площадь вычисляется по следующей формуле:

.

Для вычисления площади необходимо:

а) построить на плоскости графики всех указанных функций;

б) выделить фигуру, ограниченную данными кривыми;

в) спроектировать фигуру на одну из осей или (в зависимости от вида фигуры). Границы получившегося отрезка () дадут нижний и верхний пределы интегрирования;

г) определить функцию (), ограничивающую фигуру сверху и () – ограничивающую фигуру снизу;

д) вычислить или .

Рис. 1

Пример. Вычислить площадь фи­гуры, ограниченной линиями , , .

Построим графики указанных функций. Область, ограниченная тремя кривыми, указана на рис. 1. В данной задаче её целесообразно спроектировать на ось . Поступив таким образом, получим нижний предел интегрирования , верхний . Искомая площадь определяется интегралом:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Построим графики данных функций (рис. 2). Для того, чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения кривых

Рис. 2

Таким образом, точки пересечения кривых и .

Спроектировать полученную фигуру можно как на ось , так и на ось . При проектировании на ось нижний предел интегрирования равен , а верхний . В этом случае сверху фигуру ограничивает график функции , а снизу – . Тогда

Задача 5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

, . Найдем общее решение уравнения. Разделив обе части уравнения на х, приходим к линейному неоднородному уравнению . Пусть

, положим

или , откуда . Проинтегрировав, найдем какое либо решение этого уравнения, например при С=0, и Подставив найденное в уравнение (*), получим . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получим . Тогда окончательно имеем . Это общее решение исходного дифференциального уравнения. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Подставив в общее решение у =0, х =1, , отсюда С=-1. Тогда частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям будет .

Список литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов / под. ред.проф. Н.Ш.Кремера.2007г. 479с.

2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике.1 курс /К.Н. Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко.- 8-е изд..-М.:Айрис пресс, 2010.-576с.

3. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике.2 курс /К.Н. Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко.- 8-е изд..-М.:Айрис пресс, 2011.-592с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: (в 2 ч.) ч.1.10изд.-М.: Айрис-пресс, 2010.-288с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: (в 2 ч.) ч.2.10изд.-М.: Айрис-пресс, 2011.-256с.

6. Макаров. Математика для экономистов: электронный учебник/ С.И.Макаров.- Москва.: Кнорус, 2009.

7. Справочник по математике для экономистов: Учебное пособие / под ред.проф. В.И.Ермакова, М.: Инфра -М, 2009.- 464с.

8. Щипачев В.С. Высшая математика.Учебник для вузов.-5-е изд.,-М.: Высшая школа.2001.-479с.