Пример 5. Пусть предприятие изготавливает два вида продукции А и В, для которых использует три вида ресурсов

Пусть предприятие изготавливает два вида продукции А и В, для которых использует три вида ресурсов. Известны нормы расхода и запасы каждого вида (табл. 3.8).

Таблица 3.8

Исходные данные

Ресурсы	Удельный расход ресурсов на изделие	Наличие ресурсов
А	В
Цена изделия	2 + t	13–t	–

Из анализа спроса установлено, что цена единицы продукции для изделия А может изменяться от 2 до 12 руб., а для изделия В – от 13 до 3 руб., причем эти изменения определяются соотношениями c ₁ = 2 + t, c ₂ = 13– t, где 0 £ t £ 10.

Требуется для каждого из возможных значений цены каждого вида изделий, найти такой план их производства, при котором обеспечивается максимальная выручка.

Решение

Математически задача формулируется:

Для решения задачи (8)–(10) строим многоугольник решений, определенный системой линейных неравенств (9) и условием неотрицательности переменных (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Область допустимых решений

После этого, полагая t = 0, строим целевую функцию 2 x ₁ + 13 x ₂ = 26 (число 26 – произвольно) и вектор = (2; 13). Передвигая эту прямую в направлении вектора , можно установить последнюю ее точку с многоугольником решений OABCD, то есть точку А(0; 11).

Следовательно, задача, полученная из задачи (8)–(10) при t = 0, имеет оптимальный план x ₀^* = (0; 11). Это означает, что если цена изделия А равна 2 + 0 = 2 руб., а цена изделия В 13–0 = 13 руб., то в оптимальном плане производство изделий А не предусматривается, а изделий В требуется изготовить 11, и максимальная выручка составит max F = 143 руб..

Положим теперь t = 2 и построим прямую целевой функции (2 + 2) x ₁ + (13–2) x ₂ = 4 x ₁ + 11 x ₂ = 44 (число 44 – произвольно и вектор (4;11)). Передвигая эту прямую в направлении вектора , устанавливаем последнюю точку многоугольника решений, ту же точку А(0; 11).

Следовательно, при t = 2 задача, полученная из задачи (8)–(10) имеет тот же оптимальный план x ₀^* = (0; 11), означающий, что при цене изделия А 4, а изделия В 11 руб., требуется изготовить только 11 ед. изделия В, которые обеспечат максимум выручки max F = 11_*11 = 121 руб.

Как видно из рис. 4.1, данный план производства будет оставаться оптимальным для всякого значения t, пока прямая целевой функции (2 + t) x ₁ + (13– t) x ₂ = L не станет параллельной прямой 2х₁ + 2х₂ = 22. Это произойдет тогда, когда

,

то есть при t = 5,5 координаты любой точки отрезка АВ дают оптимальный план задачи (8)–(10).

Таким образом, для всякого 0 £ t £ 5,5 задача (8)–(10) имеет оптимальный план x ₀^*(0; 11), при котором значение целевой функции

max F = (2 + t) x ₁ + (13– t) x ₂ =

= (2 + t)^.0 + (13– t)^.11 = 143–11 t.

При значениях параметра t, больших 5.5, например, t = 6: прямая целевой функции: 8 x ₁ + 7 x ₂ = 56 (56 – произвольно), которой соответствует вектор (8;7); в направлении движения по этому вектору последняя точка В(1;10), то есть при цене А 2 + 6 = 8, при цене В 13–6 = 7 руб.

x ₁⁰ = 1; x ₂⁰ = 10; max F = 78 руб.

Как видно из рис. 10.1, план x ₁^* = (1;10) будет оптимальным задачи (8)–(10) для всякого t > 5.5 пока прямая целевой функции не станет параллельной прямой 6 x ₁ + 3 x ₂ = 36. Это произойдет, когда

,

то есть при t = 8, при котором координаты любой точки отрезка ВС дают оптимальный план задачи (8)–(10).

Таким образом, для всякого 5,5 £ t £ 8 задача (8)–(10) имеет оптимальный план x ₁^* = (1; 10), при котором значение целевой функции

max F = (2 + t)*1 + (13– t)*10 = 132–9 t.

Используя рис. 3.3 и аналогично рассуждая, получим для всякого 8£ t £10 оптимальным планом задачи (8)–(10) будет x ₂^* = (2; 8), то есть если цена изделия А заключена между (или равна) 10 и 12 руб., а изделия В 3 и 5 руб., то x ₁⁰ = 2 ед.; x ₂⁰ = 8 ед., которые обеспечат максимальную выручку

max F = 108–6 t.

Окончательно: