Векторные поля и их основные характеристики

Стационарным векторным полем называется пространство (или его часть – область ), в каждой точке которого определена векторная функция

.

В пространстве векторная функция , , определяется проекциями , , вектора соответственно на координатные оси , , :

. (8.9)

Будем считать, что , , являются непрерывно дифференцируемыми функциями координат точки . Тогда векторная функция называется непрерывно дифференцируемой в области .

Векторными полями являются:

– электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряженности;

– магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции;

– поле тяготения, создаваемое системой масс, характеризующееся в каждой точке вектором силы тяготения;

– поле скоростей потока жидкостей, описываемое в каждой точке вектором скорости.

Основными характеристиками векторного поля являются: векторные линии, поток, дивергенция, циркуляция и вихрь.

56. Градиент.

Градиентом скалярного поля называется вектор , проекциями которого на оси , , являются соответствующие частные производные функции :

.

Из равенства следует, что

.

Из формулы следует, что величина достигает наибольшего значения при =1. Поэтому направление градиента является направлением наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке.

Поскольку

,

то модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания потенциала скалярного поля в точке.

57. Поток вектора через поверхность.

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность называется число, равное значению поверхностного интеграла 2-го рода:

.

Поток зависит от выбора стороны поверхности (направления вектора ) и обладает всеми свойствами поверхностного интеграла 2-го рода.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен сумме потоков по внешней и внутренней сторонам этой поверхности:

.

В частности, поток определяет поле линейных скоростей стационарно движущейся несжимаемой жидкости через область , ограниченную поверхностью .Если , то жидкости вытекает больше, чем поступает, следовательно, внутри области имеются источники. Если , то внутри области имеются стоки, так как вытекает меньше жидкости, чем поступает.

58. Дивергенция.

Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке называется скалярная функция, равная

.

Дивергенция характеризует мощность находящегося в точке источника при или стока при . Если , то в точке нет ни источника, ни стока.

Теорема (Остроградского - Гаусса) Если векторная функция непрерывно дифференцируема в области , ограниченной замкнутой поверхностью , то поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали равен тройному интегралу по области от дивергенции этого векторного поля:

.

Данная теорема является аналитическим выражением теоремы Остроградского - Гаусса в векторной форме.

59. Циркуляция вектора. Ротор(rotα).

Циркуляция векторного поля и ее физический смысл. Рассмотрим область , ориентированную линию и векторное поле , определенное на . И пусть – единичный вектор касательной к дуге .

Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой ориентированной кривой называется число, равное значению криволинейного интеграла 1-го рода:

.

Циркуляция обладает всеми свойствами криволинейного интеграла 1-го рода.

Поместим в поток круглую пластинку с лопастями, расположенными по ее ободу – окружности (рисунок 8. 5).

Абсолютная величина циркуляции определяет угловую скорость вращения пластинки вокруг оси, проходящей через центр окружности . Знак циркуляции показывает, в какую сторону осуществляется вращение относительно ориентации линии (физический смысл циркуляции).

Ротор векторного поля. Локальной векторной характеристикой векторного поля, связанной с его вращательной способностью, является ротор (вихрь).

Ротором (вихрем) векторного поля в точке называется векторная функция

Символическая форма записи имеет вид:

.

Теорема (Стокса) Циркуляция непрерывно дифференцируемого векторного поля по замкнутому положительно-ориентированному контуру равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность , опирающуюся на :

.

60. Потенциальное поле.

Потенциальное векторное поле.Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если существует такая непрерывно дифференцируемая скалярная функция , что

.

Функция называется в этом случае потенциалом векторного поля .

Потенциальное поле является наиболее простым среди векторных полей, так как оно определяется одной скалярной функцией независимо от размерности пространства, в котором задано векторное поле.

Например, в пространстве для потенциального векторного поля

,

выполняется равенство

.

Свойства потенциальных векторных полей:

– если векторное поле , потенциально, то его потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого;

– если векторное поле задано в односвязной области , то необходимым и достаточным условием его потенциальности являетсяобращение в нуль ротора поля в любой точке :

.

Примером потенциального поля является поле тяготения.

61. Соленоидальное поле.

Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если в любой точке дивергенция равна 0:

. (8.21)

Свойства соленоидальных полей:

– соленоидальные поля не содержат ни источников, ни стоков;

– из формулы Остроградского – Гаусса следует, что если векторное поле соленоидальное, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю;

– (принцип сохранения интенсивности векторной трубки)потоки соленоидального векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой;

– в соленоидальном векторном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни оканчиваться внутри поля. Они либо замкнуты, либо начинаются и оканчиваются на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае неограниченного поля);

– в односвязной области в случае соленоидального векторного поля поток вектора через любую поверхность , опирающуюся на замкнутый контур , зависит не от вида этой поверхности, а только от самого контура .

Примером соленоидального поля является магнитное поле, создаваемое током в проводнике.

62. Интеграл Дирехле

Для удобства вводим обозначения: ,где , — коэффициенты Фурье, — частичные суммы ряда Фурье, — ряд Фурье.

Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:

По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим

— тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле

, что принято называть интегралом Дирихле

63. Принцип Локализации

64. Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье

65. Признак Липшица сходимости тригонометрического ряда Фурье

66. Признак Дини равномерной сходимости ряда Фурье

67. Признак Липшица равномерной сходимости ряда Фурье.

68. Апроксимационная Теорема Вейерштрасса.

Пусть — непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен с вещественными коэффициентами, что для любого из выполнено условие

Доказательство:

Пусть при каждом вещественном значении переменной является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть обладает теми же свойствами, что и , и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству и для нее сходится интеграл

,

который можно обозначить как . Если положить

,

то

.

69. Комплексная форма ряда Фурье

Пусть функция f (x) определена в интервале [− π, π ]. Применяя формулы Эйлера

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:

Мы использовали здесь следующие обозначения:

Коэффициенты c_n называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами

70. Интеграл Фурье

Интегралом Фурье функции называется функция вида

.

Поскольку

и интеграл , то на основании признака сравнения несобственных интегралов, данный интеграл сходится при любом .

71. Преобразования Фурье

Отображение , ставящее в соответствие функции функцию и определяемое формулой называется преобразованием Фурье и обозначается

.

Отображение , ставящее в соответствие функции функцию по формуле

.

называется обратным преобразованием Фурье и обозначается

.

Функция называется образомФурье функции .

Формула обращения. Если функция и существуют правая и левая производные, то справедлива формула

.

Формула обращения может быть записана в виде

.

Косинус-преобразованием Фурье называется действительная часть преобразования Фурье:

.

Синус-преобразованием Фурье называется мнимая часть преобразования Фурье:

.

Если – четная функция, то функция – нечетная функция. Тогда и

, .

Если – нечетная функция, то функция – четная функция. Тогда и

72. Свойства преобразования Фурье.

Преобразование Фурье обладает свойствами:

– (линейность) ,

;

– (преобразование Фурье от сдвига)

;

– (преобразование Фурье от производной) если , то

;

– если функции , , , …, принадлежат пространству и – кусочно-непрерывна на любом отрезке, то

;

– пусть и ее первообразная абсолютно интегрируемые функции на , – непрерывна, . Тогда

;

– (дифференцирование преобразования Фурье) пусть функции , абсолютно интегрируемые функции на . Тогда функция имеет на непрерывную производную, причем

;

– если непрерывна, а функции , , …, – абсолютно интегрируемы, то

;

– если , то ;

Пусть функции и . Функция (если несобственный интеграл сходится )

называется сверткой функций и .

73. Постановка задачи об интегралах зависящих от параметра

74. Равномерное стремление к предельной функции

Пусть функция определена, в общем случае, в двумерном множестве , где и означает множества значений, принимаемых порознь переменными и , причем имеет своей точкой существования, скажем, конечное число .

Если 1) для функции при существует конечная предельная функция

( из )

и 2) для любого числа найдется такое независящее от число , что при будет

Сразу для всех из , то говорят, что функция стремится к предельной функции равномерно относительно в области .

75. Перестановка 2х предельных переходов

Теорема о почленном переходе к пределу в равномерно сходящемся функциональном ряде может быть выражена в подобной форме

Пусть при каждом из существует простой предел

,

а при каждом из - простой предел

.

Если при функция стремится к предельной функции равномерно относительно в области , то существуют и равны оба повторных предела

76. Предельный переход под знаком интеграла.

Если функция при постоянном интегрируема по в и при стремится к предельной функции (11) равномерно относительно , то имеет место равенство

Доказательство*[1].

Интегрируемость предельной функции уже известна 3° задавшись произвольным числом , найдем такое число . Тогда при , будем иметь

,

77. Дифференцирование под знаком интеграла.

в обозначениях Лагранжа:

или если воспользоваться обозначениями Коши:

.

Если такая перестановка знаков производной (по ) и интегралу (по ) допустима, то говорят, что функцию можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла.

78. Интегрирование под знаком интеграла.

Когда интеграл выразится формулой:

,

без скобок:

При наличии ее говорят, что функцию можно интегрировать по параметру под знаком интеграла (взятого по переменной ).

79. Случай когда пределы интегрирования зависят от параметров.

Пусть функция непрерывна вместе со своей первой производной на прямоугольнике (отрезок включает в себя множества значений ), a функции дифференцируемы на . Тогда интеграл дифференцируем по на и справедливо равенство

80. Равномерная сходимость интеграла зависящего от параметров.

81. Достаточные признаки равномерной сходимости интеграла зависящего от параметров

82. Предельный переход под знаком интеграла при равномерной сходимости

83. Непрерывность и дифференцирование интеграла по параметру при равномерной сходимости

84. Интегрирование интеграла по параметру при равномерной сходимости

85. Интеграл Эйлера 1 рода

86. Интеграл Эйлера 2 рода

87. Свойства гамма функции

88. Формула дополнения.

В (а, 1-а) = = Г(а) Г (1-а)

В (а, 1-а) = ,

Г(а) Г (1-а) =

Эта формула называется формулой дополнения

89. Интеграл Раабе.

С формулой дополнения связано и вычисление интеграла:

R₀ = .

Заменяя а на 1 – а, можно написать:

R₀ =

пользуясь вторым функциональным уравнением () для гамма-функции, получим:

2 R₀ = R₀ = + = =

= = = – =

= = – = – .

Второй из полученных интегралов после замены u = – переходит в , и объединяя его с первым, находим I = ln2 + 2I, откуда I =– ln2. Таким образом, получаем:

при а>0

R (a) = = а (ln a – 1) +

90. Формула Лежандра.

91. Распространение гамма функции на случай отрицательных значений параметров

92. Логарифмическая производная гамма функции

93. Формулы Коши и гаусса

94. Формула Стерлинга

95. Интегралы Фрулани