Элементы комбинаторики. А. Основной принцип комбинаторики. Если первое действие может быть осуществлено способами, действие спос

называется произвольное k -элементное упорядоченное подмножество множества .

Два размещения из n по k отличаются друг от друга или хотя бы одним элементом, или порядком расположения элементов.

Количество всех размещений из n элементов по k ()определяется формулой , (2)

правая часть которой содержит k сомножителей.

Например, .

Перестановкой из n элементов называется соединение, которое содержит все п элементов множества , но расположенных в определенном порядке. Две перестановки из n элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.

Очевидно, перестановку из n элементов можно рассматривать как размещение из n элементов по n.

Количество всех возможных перестановок из n элемен­тов равно

(3)

Например, .

Сочетанием из n элементов по k (элементов в каждом) называется произвольное k -элементное (неупорядоченное) подмножество множества .

Два сочетания из n по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Количество всех сочетаний из n элементов по k дается формулой

. (4)

Например, .

С помощью замены, легкр прказать что

.

Пример 1. Любые 10 выпускников группы, состоящей из 25 выпускников, представляют собой сочетание из 25 элементов по 10. Эти же 10 выпускников, направленных на разные места работы, представляют собой размещение из 25 элементов по 10, а также перестановку из 10 элементов.

Пример 2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков.

Решение. Пусть – событие, состоящее в том, что при одном бросании кости выпадает четное число очков. Общее число исходов , а количество благоприятствующих исходов . На основании классического определения вероятности, вероятность выпадения четного числа очков .

Пример 3. Из 10 карточек с цифрами 0, 1, 2,..., 9 выбираются науда­чу три. Найти вероятность того, что из них можно составить число 257.

Решение. Элементарным событием (шансом) является здесь произвольная тройка выбранных карточек, представляющая собой сочетание из 10 элементов по 3. Поэтому общее количество шансов равно . Количество благоприятствующих шансов равно , так как число 257 может получиться единственным способом. Искомая вероятность равна .

Пример 4. Пусть в условиях примера 3 не просто выбираются три карточки, но и последовательно кладутся на стол в ряд. Найти вероятность того, что при этом получится то же число 257.

Решение. Элементарным событием (шансом) является здесь произвольная, но упорядоченная тройка выбранных карточек, то есть размещение из 10 элементов по 3. Поэтому количество благоприятствующих шансов остается таким же, как в предыдущей задаче (), но общее количество шансов другое, . Следовательно, искомая вероятность равна .

Пример 5. На каждые 100 деталей, изготавливаемых некоторым заводом, в среднем приходится 3 бракованных. Наудачу выбирается три детали. Найти вероятность того, что среди них будет одна бракованная.

Решение. Пусть - событие, состоящее в том, что среди трех наудачу вы­бранных деталей окажется одна бракованная (и две стандартных).

а) Элементарным событием (шансом) является здесь произвольная тройка выбранных деталей, а именно сочетание из 100 элементов по 3. Поэтому общее количество шансов равно количеству всех сочетаний из 100 элементов по 3,

.

б) Чтобы найти число шансов, благоприятствующих событию , примем во внимание, что две стандартных детали (сочетание из 97 имеющихся стандартных деталей по 2) можно выбрать способами, а одну бракованную - тремя способами. На основании основного принципа комбинаторики две стандартных и одну бра­кованную деталь можно выбрать способами. Следовательно, количество благоприятствующих шансов равно .

в) По классическому определению вероятности искомая вероятность события A равна

.

Пример 6. В партии имеется 20 деталей, из них 6 бракованных. Наудачу взя­то 10 деталей. Какова вероятность того, что среди выбранных - 4 бракованных (а следовательно, 6 стандартных)?

Решение. Обозначим буквой A событие, вероятность которой нужно найти (среди 10 взятых наудачу деталей 6 стандартных и 4 бракованных).

а) Каждые 10 наудачу взятых деталей – это сочетание из 20 по 10. Следовательно, 10 деталей из 20 можно взять способами, и общее количество шансов, связанных с событием A, равно

.

б) Каждые 4 бракованные детали – это сочетание из 6 элементов по 4, так как бракованные детали можно выбрать из 6 имеющихся. Следовательно, 4 бракованные детали можно взять способами.

Среди 10 взятых деталей должно быть, кроме 4 бракованных, еще 6 стандартных, представляющих собой сочетание из 14 элементов по 6, так как стандартные детали можно выбрать из 14 имеющихся. Поэтому 6 стандартных деталей можно взять способами.

10 деталей, среди которых 4 бракованных и 6 стандартных, на основании основного принципа комбинаторики можно взять способами. Следовательно, количество шансов, благопри­ятствующих событию A, равно

.

в) На основании классического определения вероятности

.