Основные свойства непрерывных функций

Теорема (Об арифметических действиях на непрерывными функциями)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны в точке х0 тогда и

f(x)+-g(x), f(x) *g(x), f(x)/g(x)тоже непрерывны в точке х0

Теорема(об устойчивости знака непрерывной функции) пусть функция у=f(х) непрерывная в точке х0 и f(x0)≠0.тогда насидеться b- окрестность точки х0 что для всех х из окрестности точки f(x) имеют тот же знак что и f(x0)

Теорема

Если функция u=ф(х) непрерывна в точке х0 а функция у=f(u) непрерывна в точке u0=ф(х0) то сложная функция у=f(ф(х)) непрерывна в точке х0

Билет№25

Производной функции f(x) в точке х0

Называется придел отношения приращение

функции в точке х0 к приращению аргумента

при условие что приращение аргумента

стремиться к 0,Если он существует и конечен

Физический смысл

д.S/t=Ucр.=Umaх

Билет№26

Дифференцируемой в точке х0 если cсуществует

приращение в этой точке допускается следующие приращение

д.у=А*д.x+a(д.x)д.x где А=конст.

a(д.x)бм при д.x->0

Теорема для того чтобы f(x) была

Дифференцируема в точке х0

Необходимо и достаточно чтобы в этой точке существовал

Конечная производная

Докажем необходимость

Дано д.у/ д.x= А+a(д.x)

Доказательство

Раз функция дифференцируема то приращение имеет вид разделим обе части на д.x

д.у/ д.x= А+a(д.x)

перейдем к приделу

=А

Существует производная конечной суммы

Докажем достаточную часть

Дано

д.у= А*д.x+a(д.x)д.x

Сущестование придела функции озночает чо выражение находящиеся под знаком придела отличаеться от свокго придельного значения на а(д.x)-бм

А*д.x+a(д.x)д.x

Билет№27

Дифференциалом функции f(x) в точке х0

Называется часть приращения функции в этой точке

А*д.x-линейная часть

df(x0)= А*д.x

df(x0)=

геометрический смысл

дифференциала f(x) в точке х0 следующий

df(x0)-приращений ординаты касательной к графику F(x) в точке х0(СD)

Билет №25

Билет №26

Билет№27

Билет №28

Билет №29