 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Образцы решения заданий контрольной работы
|
|
Задание 1. Доказать, что 
, указать 
.
Доказательство:
Согласно определению предела числовой последовательности необходимо для любого 
найти номер 
такой, что при любых 
выполнялось неравенство 
.
Рассмотрим модель 
.
Так как 
можно записать цепочку неравенств 
.
То есть, поскольку нам не требуется найти наименьшее , можно записать 
, откуда 
и в этом случае 
— целая часть числа 
.
Итак, получается, что при 
выполнено неравенство ,
что и требовалось доказать.
Задание 2. Вычислить предел числовой последовательности 
.
Решение:
.
Для раскрытия неопределённости данного вида преобразуем выражения, стоящие под знаками пределов, поделив и числитель, и знаменатель на наибольшую степень 
. Для этого сначала определим наибольшую степень числителя, а затем знаменателя.
Для числителя имеем: 
~ 
и 
~ 
, следовательно, получим , а для знаменателя — 
~ , т. е. тоже .
Поделим и числитель, и знаменатель на :
.
Следовательно, 
.
Задание 3. Вычислить предел числовой последовательности 
.
Решение:
Заметим, что 
, а 
, поэтому 
Неопределенность вида 
раскрывается с помощью второго замечательного предела 
.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак, 
.
Задание 4. Вычислить предел функции 
.
Решение:
.
Задание 5. Вычислить предел: 
.
Решение:
Для раскрытия неопределенности 
разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители. Заметим, что 
.
Так как при 
, значит, 
делится на 
.
Поделим «столбиком» многочлен 
на двучлен :
_ 
| 
| |
| 
| |
_ 
| ||
| ||
_ 
| ||
|
| ||
Следовательно, 
Задание 6. Вычислить предел функции 
.
Решение:
Задание 7. Вычислить предел функции 
Решение:
Задание 8. Вычислить предел функции 
.
Решение:
.
Задание 9. Вычислить предел функции 
.
Решение:
.
Раскроем эту неопределенность, умножив числитель и знаменатель дроби на
выражение, сопряженное числителю и преобразуем результат:
.
Задание 10. Вычислить предел функции 
.
Решение:
Заметим, что 
, а 
, поэтому 
Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела 
.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:
Итак, 
.
Задание 11. Вычислить предел функции 
.
Решение:
Заметим, что 
, а 
, поэтому искомый
предел равен 
, т. е. 
.
Задание 12. Вычислить предел функции 
.
Решение:
Воспользуемся первым замечательным пределом 
.
Имеем: 
.
Задание 13. Исследовать функцию 
на непрерывность.
Решение:
Поскольку элементарные функции непрерывны, то данная функция 
непрерывна всюду за исключением, быть может, двух точек: 
и 
.
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках.
Для этого найдем пределы функции в точках и слева и справа:
, значит 
.
Найдем 
.
, т. е. 
, следовательно, функция непрерывна в точке 
.
, следовательно, в точке 
функция терпит разрыв.
Таким образом, исходная функция непрерывна всюду кроме точки , которая является точкой разрыва первого рода.
Задание 14. Исследовать на непрерывность функцию 
в точках 
и 
.
Решение:
Легко видеть, что при 
, таким образом, в точке данная функция непрерывна, а в точке функция неопределенна.
Найдем левый и правый пределы функции в этой точке:
значит, точка является точкой разрыва функции,
а поскольку один из пределов бесконечен, то эта точка разрыва второго рода.
Задание 15. [*] Найти производную функции 
.
Решение:
.
Задание 16. Найти производную функции 
.
Решение:
.
Задание 17. Найти производную функции 
.
Решение:
Задание 18. Найти производную функции 
.
Решение:
Задание 19. Для функции 
и 
вычислить 
.
Решение:
Задание 20. Найти производную n -го порядка функции 
.
Решение:
;
;
; и т. д.
Исходя из полученного, можно выявить следующую закономерность: 
.
Задание 21. [†] Вычислить предел 
.
Решение:
Задание 22. Вычислить предел 
.
Решение:
Задание 23. Вычислить предел 
.
Решение:
, т. е. сразу правило Лопиталя применить нельзя.
Путём тождественных преобразований выражения, стоящего под знаком предела, сначала сведём неопределённость вида 
к неопределённости вида 
:
Задание 24. Вычислить предел 
.
Решение:
Задание 25. Провести полное исследование функции 
и построить её график.
Решение:
1. 
.
2. Так как область определения не симметрична относительно нуля, то функция 
является функцией общего вида.
3. Нули функции: 
.
4. Пересечений с осью ординат нет, так как 
.
5. Найдём асимптоты:
а. Вертикальная асимптота: . Исследуем поведение функции вблизи асимптоты справа. Для этого найдем предел:
.
б. Наклонные асимптоты:
, т. е. наклонных асимптот нет.
в. Горизонтальных асимптот нет.
6. Найдем экстремумы функции:
.
Рис. 1.
Из рис. 1 следует, что 
— точка максимума, а 
— точка минимума.
, 
.
7. Найдем точки перегиба:
. См. рис. 2.
Рис. 2.
— ордината точки перегиба.
8. Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
|
| ||
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| Точка перегиба | ||||||
|
| ||||||
9. График данной функции представлен на рис. 5.
Рис. 5.
Задание 26. Провести полное исследование функции 
и построить её график.
Решение:
1. 
. В точке 
знаменатель данной функции обращается в ноль, следовательно функция в ней не определена — терпит разрыв.
2. 
и 
, следовательно функция общего вида.
3. 
, следовательно функция непериодическая.
4. Нули функции: 
при 
.
5. Найдем асимптоты данной функции:
а. Вертикальная асимптота: 
и 
,
отсюда следует, что существует вертикальная асимптота .
б. Наклонная асимптота находится по формуле: 
.
Так как 
; 
,
то уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: 
.
в. Горизонтальных асимптот нет, так как 
.
6. Найдем экстремумы функции:
, значит 
, и — стационарные точки I рода.
— точка локального максимума, и 
, а точке экстремума нет, так как в ней функция терпит разрыв. Смотрите рис. 6.
Рис. 6.
7. Найдём точки перегиба:
, значит и — стационарные II рода.
В точке функция имеет перегиб. Ордината точки перегиба — 
. Смотрите рис. 7.
Рис. 7.
8. Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
| Точка разрыва | Точка перегиба | |||||
|
|
|
| |||||
9. График данной функции представлен на рис. 8.
Рис. 8.
Задание 27. Найти наименьшее и наибольше значения функции 
на отрезке 
.
Решение:
. Имеем 
, так как 
.
для поиска экстремумов необходимо найти:
Задание 28. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
Задание 29. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
Воспользуемся методом замены:
Задание 30. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Заметим, что приведенное решение наглядно демонстрирует метод замены, но слишком «громоздко». Запись решения можно упростить, если воспользоваться очевидным выражением 
. С помощью этого равенства можно «заносить» необходимый множитель под знак дифференциала (См. Приложение).
Продемонстрируем эту идею на примере:
Задание 31. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 32. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 33. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 34. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
Заметим, что 
, следовательно,
Задание 35. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 36. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 37. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 38. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
Задание 39. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 40. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 41. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 42. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 43. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла — выделим у неё целую часть, поделив числитель на знаменатель «уголком»:
_ 
| 
| |
| 
| |
_ 
| ||
| ||
|
.
Далее разложим знаменатель полученной дроби на множители. Для этого будем искать возможные корни знаменателя методом подбора среди делителей свободного члена. Очевидно, что таким корнем будет 
, т. к. при знаменатель данной дроби обращается в ноль. Поделим знаменатель на 
:
_ 
|
| |
| 
| |
_ 
| ||
| ||
_ 
| ||
|
| ||
|
|
Таким образом, 
и тогда
.
.
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений, которая в некоторых случаях может оказаться достаточно громоздкой, применяют, так называемый, «метод произвольных значений», суть которого состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений . Для упрощения вычислений в качестве произвольных значений принято принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т. е. в нашем случае — , 
и 
.
В итоге получим следующую систему уравнений: 
.
Корнями этой системы будут: 
, 
, и 
.
Окончательно получаем, что 
Задание 44. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 45. Вычислить определенный интеграл 
.
Решение:
Задание 46. Вычислить определенный интеграл 
.
Решение:
.
Задание 47. Найти несобственный интеграл или доказать, что он расходится: a) 
; б) 
.
Решение:
а) 
, т. е. данный интеграл расходится;
б) 
, значит данный интеграл сходится.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 486 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
