Характеристики вариационного ряда

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в диск­ретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух зна­чений признака, расположенных в середине ряда.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 7.10.

Таблица 7.10

Распределение обуви, проданной коммерческой фирмой в январе 1998 г.

Размер

44 и более

Итого

Количество про­данных пар, % к итогу

Накоп­ленные частоты

-

В этом ряду распределения мода равна 42. Именно этот раз­мер обуви в январе 1998 г. пользовался наибольшим спросом.

Для определения медианы надо подсчитать сумму накоплен­ных частот ряда. Наращивание продолжается до получения на­копленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 100, ее половина – 50.

Накопленная сумма частот ряда равна 62. Ей соответствует зна­чение признака, равное 40. Таким образом, 40-й размер обуви является медианным.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле

,

где х_Мо – нижняя граница значения интервала, содержащего моду;

i_Мо – величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+l – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле

,

где х_Ме – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

i_Mе – величина медианного интервала;

Σf – сумма частот;

S_Me-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интер­валу;

f_Me – частота медианного интервала

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 7.11.

Следовательно, наибольшее число семей имеют среднедушевой доход 772 руб.

Таким образом, половина семей города имеет среднедушевой доход менее 780 руб., остальные семьи – более 780 руб.

Таблица 7.1

Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода

в январе 1998 г.

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накопленные частоты	Накопленные частоты, % к итогу
До 500
500-600
600-700
700-800
800-900
900-1000
Свыше 1000
Итого		-	-

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку едини­цы ранжированного ряда. Например, можно найти значение при­знака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, десять или сто частей. Эти величины называются «квартили», «децили» и «перцентили».

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (Q,), отделяющий 1/4 часть сово­купности с наименьшими значениями признака, и квартиль вер­хний (Q₃), отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями при­знака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут мень­ше по величине Q₁; 25% единиц будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% - между Q₂ и Q₃ и остальные 25% превосходят Q₃. Средним квартилем Q₂ является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы:

;

,

где – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

– нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интер­вал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля;

– частота интервала, содержащего нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля.

Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным табл. 7.11. Нижний квартиль находится в интервале 600-700, накопленная частота которого равна 30%. Верхний квартиль ле­жит в интервале 800-900 с накопленной частотой 77%. Поэто­му получим:

Итак, 25% семей имеют среднедушевой доход менее 671 руб., 25% семей – свыше 891 руб., а остальные имеют доход в преде­лах 671-891 руб.