Методы взаимной сопряженности

В статистике широко используют непараметрические методы оценки связи (методы взаимной сопряженности), которые позволяют изучить связь между качественными признаками.

Таблица 9.1 - Методика расчета и содержание показателей взаимной сопряженности

Показатель	Методика расчета и содержание показателя
Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова А.	Применяется для измерения тесноты связи между варьированием двух атрибутивных признаков, когда это варьирование образует несколько (три и более) групп и определяется по формуле , или   где fi,fj – эмпирические частоты в i -й строке j -го столбца; m – число групп по каждому признаку; n – количество наблюдений;   Коэффициент изменяется от 0 до 1, но уже при значении 0,3 можно говорить о тесной связи между вариацией изучаемых качественных признаков.   Вторая формула применяется, если количество наблюдений невелико
Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона К.	где п – число наблюдений.   Коэффициент изменяется от 0 до 1. Чем он ближе к 1, тем теснее связь между атрибутивными признаками
Коэффициент ассоциации	Группы Подгруппы Всего     А а b a+b Б с d c+d Итого a+c b+d   где a,b,c,d – частоты «таблицы четырех полей». Изменяется от -1 до +1. Чем ближе этот показатель к 1 или -1, тем сильнее связаны между собой изучаемые признаки. Если коэффициент ассоциации не ниже 0,3, можно говорить о наличии существенной связи между признаками
Коэффициент контингенции	Коэффициент применятся в том случае, когда хотя бы одно значение из четырех показателей в «таблице четырех полей» отсутствует.   По абсолютной величине коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации.   Изменяется от -1 до +1. Чем ближе к 1 или -1, тем сильнее связаны изучаемые признаки
Биссериальный коэффициент корреляции	Коэффициент позволяет изучить связь между качественным альтернативным и количественным варьирующим признаками и определяется по формуле где - средние значения признака в группах; среднее квадратическое отклонение фактических значений признака от среднего уровня; р - доля первой группы в совокупности; q - доля второй группы; Z – табличные значения Z -распределения в зависимости от р

Сущность метода параллельных рядов заключается в сопоставлении значений факторного и результативного признаков. Для этого значения факторных признаков располагают в возрастающем или убывающем порядке. Параллельно записывают значения результативных признаков. Путем сопоставления расположенных таким образом рядов значений выявляют существование связи и ее направление.

На основе сравнения параллельных рядов могут быть применены элементарные показатели, характеризующие направление и тесноту связи: коэффициент Фехнера, Спирмена, множественный коэффициент ранговой корреляции.

Таблица 9.2 - Показатели, характеризующие направление на тесноту связи

Показатель	Методика расчета и содержание показателя
Коэффициент Фехнера (коэффициент корреляции знаков)	Основан на степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних величин. Для расчета этого показателя исчисляют средние значения факторного и результативного признаков (по арифметической простой), а затем проставляют знаки отклонений для значений взаимосвязанных пар признаков: если фактическое значение признака больше средней величины, то ставится знак «+», если меньше – то знак «-».   Коэффициент Фехнера определяется по формуле     где С – количество совпадений знаков; Н – количество несовпадений знаков.   Коэффициент Фехнера может принимать любые значения в пределах . Если Кф= 1, то это значит, что знаки всех отклонений совпадают; если знаки всех отклонений будут разными, то К ф=0. Если К ф =-1, то это дает возможность предположить наличие обратной связи.   Этот показатель позволяет уловить направление связи, но не учитывать точно ее величину
Коэффициент Спирмена (коэффициент корреляции рангов)	Применяется для анализа связи двух значений (Х,Y) и учитывает согласованность рангов, т.е. номеров, которые занимают единицы совокупности по каждому из этих признаков, определяется по формуле   где сумма квадратов разности рангов Y и X; n - число ранжированных единиц. Коэффициент Спирмена изменяется от +1 (полная корреляция рангов, в этом случае ) до -1 (полная обратная корреляция рангов, в этом случае ). При =0, когда , корреляция рангов отсутствует. Значимость коэффициента корреляции рангов Спирмена проверяется на основе t -критерия Стьюдента по формуле   Значение коэффициента корреляции считается статистически существенным, если > t табличное ()
Множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации)	Используется для оценки тесноты связи между несколькими признаками (3 и более) при использовании ранговой корреляции и определяется по формуле где m – число факторов, между которыми изучается связь; n – сумма ранжированных единиц; S – сумма квадратов отклонений рангов.   где rij – ранг i -го фактора у j -й единицы.   Коэффициент изменяется в пределах от 0 до 1 и характеризует степень тесноты связи, но уже при значении 0,5 можно говорить о тесной связи между вариацией изучаемых признаков.   Значимость коэффициента конкордации проверяется на основе критерия Пирсона:     Если фактическое значение больше табличного значения, при вероятности 0,05 (0,01; 0,10) и числе степеней свободы то это подтверждает значимость коэффициента конкордации

Связь между признаками можно увидеть, если построить график, отложив на оси абсцисс значения факторного признака (Х), на оси ординат – значения результативного признака. Нанеся на графике точки, соответствующие значениям Х и Y, можно получить корреляционное поле, благодаря которому по характеру расположения точек можно судить о направлении и силе связи. Если точки беспорядочно разбросаны по всему полю, это говорит об отсутствии зависимости между двумя признаками. Если они концентрируются вокруг оси, идущей от нижнего левого угла в верхний правый, то имеется прямая зависимость между варьирующими признаками. Если точки концентрируются вокруг оси, идущей от верхнего левого угла в нижний правый, то существует обратная зависимость.

Корреляционно-регрессионный анализ предполагает установление аналитической формы связи (регрессионный анализ) и измерение тесноты, направления связи (корреляционный анализ).

Чаще всего для характеристики регрессии используют следующие типы функций.

Таблица 9.3 - Типы функций, используемых для характеристики регрессии, и методика их определения

Функция	Методика расчета
Линейная регрессия	Yx=a0+a1X или Y1,2,3,…,n= a0+a1X1+a2X2+…+anXn
Параболическая связь	Yx=a0+a1X+a2X2 или Y1,2,3,…n=a0+a1X12+a2X22+…+anXn2
Гиперболическая связь	или
Полулогарифмиче­ская функция	Yx=a0+a1lgX
Логистическая функция
Показательная функция	Yx=a0a1X или
Степенная функция	или

Оценка параметров уравнений регрессии (а₀, а₁, а₂ ,…, а_п) осуществляется методом наименьших квадратов. Метод заключается в минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии.

Каждый коэффициент регрессии показывает, на сколько в среднем изменится величина результативного признака в случае изменения факторного признака на единицу при фиксированном положении остальных факторов.

Значимость коэффициентов регрессии определяется с помощью t -критерия Стьюдента.

Расчет t -критерия Стьюдента

Адекватность корреляционно-регрессионной модели оценивается с помощью F-критерия Фишера.