Тема 11. Показатели вариации

9.1. Абсолютные показатели вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Она возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под влиянием разнообразных факторов.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Показатели вариации могут быть:

− абсолютными;

− относительными.

Абсолютные показатели вариации:

Наиболее простой показатель – размах вариации (R), определяемый как разность между наибольшим (X_max) и наименьшим (X_min) значениями вариантов:

R = X_max − X_min

Рассмотрим колеблемость показателей товарооборота в среднем на одно предприятие для уяснения расчетов показателей вариации.

Группы предприятий по объему товарооборота, млн. руб.	Число предприятий	Расчетные показатели
90-100
100-110
110-120
120 -130
ИТОГО

Средний объем товарооборота на одно предприятие равен:

млн. руб.

Показатель размаха вариации составил: R = 130 – 90 = 40 млн.руб.

Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонения всех вариант в ряду. Однако безусловным достоинством этого показателя является простота вычисления.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределения отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение (), которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Оно определяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений.

, или

В нашем примере:

млн.руб.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (δ²) – средний квадрат отклонений, определяемый, как средняя из отклонений, возведенных в квадрат :

Корень квадратный из дисперсии δ² среднего квадрата отклонений представляет собой среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя отражает собой всю представляемую совокупность.

Различают: − дисперсия признака по всей изучаемой совокупности;

− межгрупповая дисперсия – это мера колеблемости частных средних по группами вокруг общей средней;

− внутригрупповая дисперсия – это вариация, обусловленная влиянием прочих факторов.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

_.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

, где

x_i и n_i - соответственно средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий

.

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить расчеты:

1. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии.

2. Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится.

3. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А раз, а среднее квадратическое отклонение в А раз:

4. Дисперсия равна разности средней из квадратов значений признака и квадрата средней арифметической (способ моментов).

или

В примере:

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными и имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

9.2. Относительные показатели вариации

Эти показатели исчисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической, умножая на 100%.

1. Коэффициент осцилляции:

2. Относительное линейное отклонение:

3. Коэффициент вариации:

Исходя из того, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем, используемым для оценки типичности средних величин. При этом, если коэффициент больше 40%, то это говорит о большой колеблемости признака.

В нашем примере V=7,6%, следовательно, совокупность считается однородной.

Задача 1.

Определить групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по следующим данным:

1-я бригада	2-я бригада
№ п/п	Изготовлено деталей за час, шт. хi			№ п/п	Изготовлено деталей за час, шт. хi
		-2 -1				-3 -2 -1

Решение:

Для расчета групповых дисперсий вычислим средние по каждой группе:

Промежуточные расчеты дисперсий по группам представлены в таблице. Подставив полученные значения в формулу, получим:

Средняя из групповых дисперсий

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

Теперь определим межгрупповую дисперсию:

Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дисперсий

Проверим полученный результат, вычислив общую дисперсию обычным способом:

Задача 2.

Имеются следующие данные по трем группам рабочих с разным стажем работы:

Стаж работы, лет	Число рабочих, ni	Средняя заработная плата, руб.	Среднее квадратическое отклонение заработной платы, руб.
До 3 3 – 10 Более 10

Рассчитать: а) среднюю заработную плату для всей рабочих; б) общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение заработной платы.

Решение:

а) Общая средняя

б) Общая дисперсия находится по правилу сложения дисперсий

Найдем среднюю из групповых дисперсий

=

Найдем межгрупповую дисперсию:

=

Тогда общая дисперсия заработной платы

=25880 + 6100 = 31980

Контрольные вопросы к теме:

1. Расскажите о классификации показателей вариации.

2. Перечислите абсолютные показатели вариации.

3. Какие виды дисперсии вы знаете. Дайте характеристику каждому виду.

4. Перечислите основные свойства дисперсий, их взаимосвязь.

5. Перечислите относительные показатели дисперсии. Как проверить однородность выборки.