Структурные средние. Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен ввиду нехватки данных.

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части.

Модой () называется чаще всего встречающийся вариант, или модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение. Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды и обуви, которые пользуются широким спросом); регистрации цен.

В дискретном ряду мода—это варианта с наибольшей частотой. Например, по приведенным ниже данным наибольшим спросом обуви пользуется размер 37 (табл. 19).

Таблица 19

Размер обуви
Число купленных пар

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, т. е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала находят модальный, которым является интервал с наибольшей частотой, а затем ведут расчет по формуле:

где - нижняя граница модального интервала;

- величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Пример:

Имеются данные по группе банков (табл.20):

Таблица 20 Распределение банков по сумме выданных кредитов

Сумма выданных кредитов, млн.руб	Количество банков
До 40
40 - 60
60 – 80
80 – 100
100 – 120
120 – 140
140 и выше
Итого

Определим модальный размер выданных кредитов:

модальным является интервал (60–80), так как ему соответствует наибольшая частота (21);

нижняя граница модального интервала = 60; величина интервала = 20 (80–60 = 20);

частота модального интервала =21; частота интервала, предшествующего модальному =15; частота интервала, следующего за модальным =12.

Подставив в формулу соответствующие величины, получим

То есть, наиболее часто встречаются в данной совокупности банки, у которых сумма выданных кредитов составила 68 млн.руб.

Медиана () — это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая — большие.

Понятие медианы легко уяснить из следующего примера. Для ранжированного ряда (т. е. построенного в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин) с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Например, в ранжированных данных о стаже работы семи продавцов—1, 2, 2, 3, 5, 7, 10 лет—медианой является четвертая варианта — 3 года.

Для ранжированного ряда с четным числом членов (индивидуальных величин) медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант. Если в бригаде продавцов из шести человек распределение по стажу работы было таким: 1, 3, 4, 5, 7, 9 лет, то медианой будет значение, равное: (4+5): 2= 4,5 года,т. е.

Пример.

Имеются данные о цене антоновских яблок в шести магазинах города (табл.21):

Таблица 21

Название магазина	Цена яблок, руб.за кг
«Огонек»
«Маяк»
«Заря»
«Татьяна»
«Ночной»
«Любимый»

В середине ранжированного ряда находятся цены двух магазинов. Медиана определяется как средняя величина из этих значений признака. .

Таким образом, у 50% магазинов города яблоки продаются по цене не выше 43 руб.за кг, а в других 50% магазинов – по цене не ниже 43 руб.за кг.

Для определения медианы в дискретных вариационных рядах:

1. находят ее порядковый номер по формуле: , (, если имеем нечетное число единиц совокупности);

2. строят ряд накопленных частот;

3. находят накопленную частоту, которая равна порядковому номеру медианы, или его превышает;

4. варианта, соответствующая данной накопленной частоте, является медианой.

Пример

Определим медианный стаж сотрудников компании на основе следующих данных (табл.22):

Таблица 22 Распределение сотрудников по стажу работы

Время работы, лет	Число сотрудников, чел,	Накопленная частота,
Итого		-

Номер медианы равен . Рассчитаем накопленные частоты (суммы частот по группам). Для пятой группы накопленная частота равна 38. Это значит, что 38 работников имеют стаж работы 5 лет и менее. Для шестой группы накопленная частота равна 48 (она первая превышает порядковый номер медианы), следовательно, в эту группу входят сотрудники с порядковыми номерами от 39 до 48. Стаж работы сотрудников в шестой группе – 6 лет. Значит . Итак, 50% сотрудников работают в данной компании не более 6 лет.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий:

1. располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру;

2. определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты;

3. по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

4. Найдя медианный интервал, вычисляем медиану по формуле:

где —нижняя граница медианного интервала; — величина медианного интервала; —полусумма частот ряда; — сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; — частота медианного интервала.

Пример: По данным таблицы 20 определим медианное значение суммы выданных банками кредитов, для этого приведем таблицу к виду табл.23:

Таблица 23 Распределение банков по сумме выданных кредитов

Сумма выданных кредитов, млн.руб	Количество банков,	Накопленная частота,
20 - 40
40 - 60
60 – 80
80 – 100
100 – 120
120 – 140
140 - 160
Итого		-

Проведем расчет:

1. определим порядковый номер медианы ;

2. определим накопленную частоту медианного интервала: , ;

3. определим соответствующий ей медианный интервал «60 – 80»;

4. рассчитаем значение медианы по формуле млн.руб., то есть у 50% банков сумма выданных кредитов не превышает 74,286 млн.руб.

Помимо медианы, которая делит вариационный ряд на две равные части, встречаются квартили, которые делят вариационный ряд на четыре равные части, квинтили – делят ряд на пять равных частей, децили – делят ряд на десять равных частей, перцентили – делят ряд на сто равных частей и т.д. Их определяют аналогично.