Середні величини та показники варіації, методика розрахунку

Приклад розрахунку середньої арифметичної простої. Відомі дані про загальну площу п'ятнадцяти обстежених двокімнатних квартир:

Номер квартири
Загальна площа, м2	76,3	54,2	41,7	51,6	49,3	60,4	52,4	48,2	40,3	64,0	54,5	48,7	62,2	51,8	48,9

Оскільки вихідні дані не згруповані, для розрахунку середньої площі двокімнатної квартири необхідно скористатися формулою середньої арифметичної простої. Для спрощення обчислення середньої доцільно визначити обсяг осереднюваної ознаки (). За вищенаведеними даними Отже, середня площа однієї двокімнатної квартири становить:

.

Для розрахунку середньої арифметичної простої можна використати Microsoft Excel, зокрема статистичну функцію СРЗНАЧ. Для виконання розрахунків необхідно таблицю з вихідними даними розмістити у відповідних комірках на листі Microsoft Excel, звернутися до «Мастера функций», обрати категорію «Статистические» та функцію СРЗНАЧ.

Після появи діалогового вікна функції СРЗНАЧ у поле «Число 1» необхідно ввести діапазон значень ознаки (у нашому прикладі комірки В2:Р2), після натискання ОК в активованій комірці В3 буде виведено результат, який також показано у діалоговому вікні в останньому рядку «Значение 53,63333333».

Приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої. За наявності згрупованих даних у вигляді дискретного ряду розподілу, наприклад, академічних груп за кількістю студентів, використовується середня арифметична зважена.

Кількість студентів у групі(х)	Число груп (f)	Xf
Разом

Оскільки вихідні дані є результатом групування, для розрахунку середньої величини необхідно використати формулу середньої арифметичної зваженої:

За умови використання Microsoft Excel вихідні дані розміщують у відповідних комірках таблиці, далі шляхом побудови формули знаходять добутки .

Наступний етап – розрахунок загальної кількості груп () і загальної кількості студентів (), для чого можна використати команду «Автосумма», яка на панелі позначена Далі в активованій комірці В16 введемо формулу розрахунку середньої та одержимо результат, який заокруглимо до цілого числа, використовуючи команду «Уменшить разрядность».

Приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої на основі інтервального ряду розподілу. Маємо результати групування сплачених штрафів за їх розміром (перші дві графи таблиці 2.8). Для виконання розрахунків необхідно інтервальний ряд розподілу перетворити у дискретний шляхом знаходження середини кожного інтервалу як півсуми його верхньої та нижньої межі. Далі розрахунок виконується аналогічно попередньому прикладу за формулою середньої арифметичної зваженої.

Розмір штрафу, грн.	Число штрафів (f)	Середина інтервалу (х)	xf
До 100		50 (0+100)/2
100 – 200		150 (100+20)/2
200 – 400		300 (200+400)/2
400 – 600		500 (400+600)/2
600 – 800		700 (600+800)/2
800 – 1000		900 (800+1000)/2
1000 – 2000		1500 (1000+2000)/2
2000 – 3000		2500 (2000+3000)/2
Разом		х

Середній розмір штрафу становить:

Отже, середній розмір штрафу в досліджуваній сукупності дорівнює 435 грн.

Приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої методом «моментів». Маємо результати групування проданого товару за ціною (табл.2.9). Оскільки вихідні дані є інтервальним рядом розподілу з рівними інтервалами, на першому етапі необхідно здійснити перехід до дискретного ряду розподілу аналогічно вищенаведеному прикладу. Наступний етап передбачає встановлення константи А (переважно це середина інтервалу, близького до центру та з великою частотою, в наведеному прикладі А=225). Подальші етапи передбачають обчислення величин та , які занесено в останні графи таблиці.

Ціна, грн.	Кількість, шт.	Середина інтервалу	Х-А А = 225
До 100			–150	–3	–60
100–150			–100	–2	–48
150–200			–50	–1	–32
200–250
250–300
Разом		х	х	х	–122

Визначаємо момент першого порядку:

Середня величина методом «моментів»:

Таким чином, середня ціна одиниці товару становить 184 грн.

Приклад розрахунку загального середнього значення ознаки на основі групових середніх. Маємо результати типологічного групування вкладів:

Групи за розміром вкладу	Середній розмір вкладу, грн. ( ))	Число вкладів ( )
Малі
Середні
Великі
Разом	х

Загальна середня дорівнює:

Отже, у досліджуваній сукупності середній розмір вкладу становить 3470 грн.

Приклад розрахунку середньої гармонічної величини. Маємо дані про розмір місячної заробітної плати та місячний фонд заробітної плати по трьох цехах підприємства. Оскільки кількість працівників у цехах невідома, тобто невідомі частоти, для розрахунку середньої необхідно використати середню гармонічну зважену третього виду.

Цех	Місячна заробітна плата працівників, грн.(х)	Місячний фонд заробітної плати цеху, грн.(W = xf)
Разом	х

Середня зарплата одного працівника по трьох цеха разом:

Отже, на підприємстві працює 50 працівників, а середня місячна заробітна плата одного працівника дорівнює 1181 грн.

Приклад розрахунку багатомірної середньої. Маємо значення трьох ознак по чотирьох одиницях сукупності.

Одиниці сукупності (j)	Ознаки (і)
х1	х2	х3

Для виконання розрахунків з використанням Microsoft Excel вихідні дані з таблиці 2.10 розмістимо на відповідному листі електронної таблиці (комірки A1:H7). При обчисленні багатомірної середньої на першому етапі необхідно визначити середні значення кожної ознаки за формулою середньої арифметичної простої, для чого можна використати функцію СРЗНАЧ (комірки B7:D7). На другому етапі обчислюють відношення кожного індивідуального значення до відповідної середньої (p_ij) шляхом побудови формули, при цьому число у знаменнику необхідно зафіксувати, використавши клавішу F4 (комірки E3:G6). На третьому етапі для кожної одиниці сукупності на підставі значень p_ij за формулою середньої арифметичної простої розраховують багатомірну середню за допомогою функції СРЗНАЧ (комірки H3:H6).

Приклад розрахунку середнього значення відносної величини. Відома питома вага міського населення (ВВ) та загальна чисельність всього населення (Б) по трьох районах області:

ВВ (Х) Б (f)

1-й район: 45,1% та 34,6 тис. чол.

2-й район: 48,4% та 51,2 тис. чол.

3-й район: 50,3% та 21,7 тис. чол.

Оскільки загальна чисельність населення розміщена у знаменнику відносної величини і виконує роль частоти, для обчислення середнього значення необхідно скористатися формулою середньої арифметичної зваженої. Отже, середня питома вага міського населення становить:

Маємо дані про питому вагу жінок та їх чисельність по трьох районах області:

ВВ (Х) А (W)

1-й район: 54,9% та 19,0 тис. чол.

2-й район: 51,6% та 26,4 тис. чол.

3-й район: 49,7% та 10,8 тис. чол.

Оскільки чисельність жінок розміщена у чисельнику відносної величини та виконує роль обсягу ознаки, для обчислення середнього значення необхідно використати формулу середньої гармонічної зваженої. Таким чином, середня питома вага жінок становить:

Приклад розрахунку медіани за індивідуальними значеннями показника. Маємо дані про середньомісячну заробітну плату та стаж 20 працівників підприємства:

№	Середньомісячна зарплата, грн.	Трудовий стаж, років	№	Середньомісячна зарплата, грн.	Трудовий стаж, років

При обчисленні медіани без використання електронних таблиць необхідно в першу чергу рангувати вихідні значення показника, тобто розмістити їх у порядку зростання або зменшення. Наприклад, за даними табл.2.11 рангований у порядку зростання ряд середньомісячної заробітної плати буде таким:

№ з/п	Середньомісячна зарплата, грн.	№ з/п	Середньомісячна зарплата, грн.

Обчислимо номер медіани:

Отже, медіана буде знаходитися між 10 та 11 значеннями ознаки у рангованому ряді та дорівнювати їх півсумі:

Приклад розрахунку моди і медіани в інтервальному ряді розподілу. Маємо наступні дані про розподіл працівників ВАТ за рівнем місячної заробітної плати у звітному році:

Групи працівників за рівнем середньомісячної заробітної плати, грн	Кількість працівників (f)
800-1000
1000-1200
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800-2000
2000 і більше

Під варіацією розуміють мінливість, коливання значень ознаки у одиниць сукупності. Варіацію можна вивчати як на основі рядів розподілу, так і за індивідуальними даними.

При вивченні варіації вирішуються три головних завдання (відповідно існує три групи показників):

-характеристики центру розподілу (середня, мода і медіана);

-характеристики розміру та ступеня варіації;

-характеристики виду та типу розподілу.

Для оцінювання розміру варіації використовується система абсолютних показників, які розглядаються як абсолютна міра варіації.

Розмах варіації () характеризує максимальну амплітуду коливань значень ознаки в сукупності:

де – відповідно найбільше та найменше значення ознаки.

В інтервальних рядах розподілу розмах варіації визначається як різниця між верхньою межею останнього та нижньою межею першого інтервалу.

Середнє лінійне відхилення (), що характеризує середній розмір відхилень значень ознаки від середнього рівня. Для розрахунку за індивідуальними даними використовують середнє лінійне відхилення просте:

,

де – індивідуальні значення ознаки; – середнє значення ознаки; – кількість одиниць у сукупності.

За наявності дискретного або інтервального ряду розподілу використовують середнє лінійне відхилення зважене:

,

де – варіанти; – частоти.

Дисперсія () – це середній квадрат відхилень значень ознаки від її середнього рівня. Для розрахунку за індивідуальними даними використовують дисперсію просту:

.

За наявності дискретного або інтервального ряду розподілу використовують дисперсію зважену:

.

Для спрощення розрахунків використовують формули:

В інтервальних рядах розподілу з рівними інтервалами дисперсію можна визначити методом «моментів» за формулою:

де

Середнє квадратичне відхилення (σ) — показує середній розмір відхилень значень ознаки від середнього рівня. Залежно від вихідних даних використовують середнє квадратичне відхилення просте і зважене:

Середнє квадратичне відхилення найчастіше використовують у статистичному аналізі, тому його також називають стандартним відхиленням. Слід мати на увазі, що при симетричному розподілі одиниць сукупності .

Відносні показники варіації використовуються: для оцінки ступеня варіації; для порівняння варіації різних ознак; для порівняння варіації однієї ознаки:

У загальному вигляді відносні показники варіації визначаються за формулою:

Існує дванадцять варіантів обчислення відносного показника варіації:

У статистичному аналізі найчастіше використовується такі відносні показники варіації:

– коефіцієнт осциляції: ;

– лінійний коефіцієнт варіації: ;

– квадратичний коефіцієнт варіації: .

На практиці переважно використовують коефіцієнт варіації такого виду:

Вважається, що сукупність є однорідною, якщо V £ 33%. Крім цього, наведений коефіцієнт варіації застосовують для оцінки ступеня варіації: V < 15% – варіація слабка; 15 £ V £ 25% – середня; V > 25% – сильна.

Загальну варіацію ознаки можна розкласти на дві складові – систематичну та випадкову. Для цього необхідно виконати аналітичне групування, у якому досліджувана ознака є результативною, а групувальна ознака розглядається як систематичний фактор. Систематична варіація, яка зумовлюється впливом групувальної ознаки, характеризується міжгруповою дисперсією – середнім квадратом відхилень групових середніх значень результативної ознаки () від її загальної середньої ().

Таким чином, міжгрупова дисперсія визначається за формулою:

де число одиниць в і -й групі.

Випадкова варіація обумовлена дією випадкових факторів і проявляється у коливанні значень результативної ознаки в межах однієї групи. Вона характеризується показником внутрішньогрупової дисперсії та показує середній розмір відхилень значень результативної ознаки (у) від групової середньої ():

Внутрішньогрупову дисперсію розраховують окремо для кожної групи, тому для одержання її значення у сукупності визначають середню величину (середню внутрішньогрупову дисперсію):

Доведено, що загальна дисперсія результативної ознаки дорівнює сумі міжгрупової дисперсії та середньої внутрішньогрупової дисперсії:

Це правило має назву «правило додавання дисперсій». Воно використовується для того, щоб розкласти загальну варіацію результативної ознаки на систематичну та випадкову. При цьому мірою систематичної варіації є міжгрупова дисперсія (), а випадкової – середня внутрішньогрупова дисперсія ().

Приклад розрахунку абсолютних і відносних показників варіації за індивідуальними значеннями показника. Маємо дані про загальну площу п'ятнадцяти обстежених двокімнатних квартир (перша і друга графи таблиці):

Номер з/п	Загальна площа, м2
	76,3	22,7	515,29	5821,69
	54,2	0,6	0,36	2937,64
	41,7	11,9	141,61	1738,89
	51,6	2,0	4,00	2662,56
	49,3	4,3	18,49	2430,49
	60,4	6,8	46,24	3648,16
	52,4	1,2	1,44	2745,76
	48,2	5,4	29,16	2323,24
	40,3	13,3	176,89	1624,09
	64,0	10,4	108,16	4096,00
	54,5	0,9	0,81	2970,25
	48,7	4,9	24,01	2371,69
	62,2	8,6	73,96	3868,84
	51,8	1,8	3,24	2683,24
	48,9	4,7	22,09	2391,21
Разом	804,5	99,5	1165,75	44313,75

Для розрахунку розмаху варіації знайдемо максимальне і мінімальне значення ознаки: ; . Розмах варіації становить:

.

Розрахунок середнього лінійного відхилення розпочнемо з визначення середнього значення, яке становить:

.

Результати розрахунку модулів відхилень варіант від середньої занесено у третю графу таблиці. Середнє лінійне відхилення дорівнює:

Дисперсію обчислимо двома способами, для чого визначимо квадрати відхилень значень ознаки від середньої та квадрати значень ознаки (), які занесемо у четверту і п'яту графи таблиці. Дисперсія дорівнює:

або

Середнє квадратичне відхилення становить:

.

Для оцінки ступеня варіації обчислимо відносні показники:

– коефіцієнт осциляції: ;

– лінійний коефіцієнт варіації: ;

– квадратичний коефіцієнт варіації: .

Для оцінки варіації індивідуальних значень ознаки, яка змінюється, доцільно скористатися пакетом «Анализ данных» – Инструмент анализа – «Описательная статистика». Наприклад, здійснимо оцінку варіації двох показників по 10 одинцях сукупності:

Одиниці сукупності	Обсяг виробленої продукції, тис. од.	Собівартість одиниці продукції, грн.
	145,9	78,4
	78,3	95,1
	278,1	63,9
	346,5	67,1
	129,3	84,3
	55,8	101,2
	394,4	59,3
	416,3	61,7
	226,7	72,8
	113,9	81,6

Приклад розрахунку абсолютних і відносних показників варіації на основі інтервального ряду розподілу. Маємо інтервальний ряд розподілу поставок за їх вартістю. Для оцінки варіації вартості поставок обчислимо розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації.

Вартість поставки, тис. грн.	Кількість поставок
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50

Виконання розрахунків за допомогою робочої таблиці розпочнемо з визначення середини кожного інтервалу (графа 3), подальші обчислення зробимо аналогічно попередньому прикладу та занесемо результати у відповідні клітинки робочої таблиці.

Вартість поставки. тис. грн.	Кількість поставок (f)	Середина інтервалу (Х)
10-15		12,5	62,5	17,4	87,0	303,1	1515,4
15-20		17,5	140,0	12,4	99,3	154,0	1231,9
20-25		22,5	360,0	7,4	118,5	54,9	878,3
25-30		27,5	632,5	2,4	55,4	5,8	133,5
30-35		32,5	942,5	2,6	75,1	6,7	194,7
35-40		37,5	712,5	7,6	144,2	57,6	1094,8
40-45		42,5	297,5	12,6	88,1	158,5	1109,7
45-50		47,5	142,5	17,6	52,8	309,4	928,3
Разом		х	3290,0	x	720,5	x	7086,6

Середній розмір поставок:

Розмах варіації:

Середнє лінійне відхилення:

Дисперсія:

.

Середнє квадратичне відхилення:

Коефіцієнт варіації:

.

Отже, середня вартість поставок становила 29,9 тис. грн., максимальне коливання – 40 тис. грн., у середньому вартість поставок відхилялася від середнього рівня на 8 тис. грн. або на 26,8%. Сукупність є однорідною, а варіація ознаки – сильною.

Приклад розрахунку дисперсії методом «моментів». Для обчислення дисперсії використаємо вищенаведені вихідні дані (1-3 графи робочої таблиці), оскільки це ряд розподілу з рівними інтервалами. Величини, які необхідні для розрахунку моментів першого та другого порядку, наведемо у графах 4-8.

Вартість поставки. тис. грн.	Число поставок (f)	Середина інтервалу (Х)
10-15		12,5	-20	-4	-20
15-20		17,5	-15	-3	-24
20-25		22,5	-10	-2	-32
25-30		27,5	-5	-1	-23
30-35		32,5
35-40		37,5
40-45		42,5
45-50		47,5
Разом		х	x	x	-57	x

Момент першого порядку: Момент другого порядку:

. .

Дисперсія:

Приклад розрахунку міжгрупової, внутрішньогрупової та загальної дисперсії. Маємо дані про підсумкові оцінки, одержані студентами з дисципліни «Статистика» у розрізі статі:

Номер студента	Оцінка за 100-бальною шкалою
чоловіки	жінки
		-
		-
		-
		-
		-
Разом

Для обчислення міжгрупової дисперсії визначимо середню оцінку для чоловіків () і жінок (), а також загальну середню по сукупності ():

; ; .

Міжгрупова дисперсія дорівнює:

Для розрахунку внутрішньогрупової дисперсії використаємо робочу таблицю:

	7,0	49,0		-16,0	256,0
	-5,0	25,0		2,0	4,0
	-13,0	169,0		-2,0	4,0
	-17,0	289,0		13,0	169,0
	8,0	64,0		15,0	225,0
	14,0	196,0		4,0	16,0
	5,0	25,0		-1,0	1,0
	-3,0	9,0		9,0	81,0
	-18,0	324,0		-16,0	256,0
	17,0	289,0		-8,0	64,0
	6,0	36,0	-	-	-
	-6,0	36,0	-	-	-
	-10,0	100,0	-	-	-
	19,0	361,0	-	-	-
	-4,0	16,0	-	-	-
Разом	х	1988,0	Разом	х	1076,0

Внутрішньогрупова дисперсія дорівнює:

у чоловіків ;

у жінок .

Середня з внутрішньогрупових дисперсій:

.

Загальна дисперсія (за правилом додавання дисперсій) становить:

.

За результатами розрахунків можна зробити висновок про те, що варіація оцінок з дисципліни «Статистика» майже не залежить від статі (групувальна ознака), а зумовлюються іншими факторами.

Далі студентам необхідно ознайонитись з додатковим матеріалом за цією темою та за необхідністю «Законспектуйте» матеріал з наступних джерел:

Рекомендована література до теми:

1.Мармоза А.Т. Теорія статистики: Підручник / А.Т. Мармоза – 2-є видання. – К.: ЦУЛ, 2013. – С. 141-148

2.Теорія статистики: Навчальний посібник / В.Б. Захожай. – К.: МАУП, 2006. – С.44-50

3.Практикум до загальної теорії статистики: посібник / О.С. Доценко – СевНТУ – 2010.

Практична робота №2 «Розрахунок середніх величин та показників варіації»

Згідно наведених прикладів розрахунку у пп. 2.2. необхідно виконати наступні практичні роботи: