Буквенная символика

Зачатки алгебраической буквенной символики встречаются впервые, как уже говорилось, у Диофанта. Диофант обозначал неизвестное знаком, напоминающим греческую букву? или латинскую S. Есть предположение, что это обозначение происходит от последней буквы греческого слова ??????? — число. Были у него также сокращенные обозначения для квадрата, куба и других степеней неизвестной величины. Знака сложения не было, складываемые величины писались подряд. Знаком вычитания служило нечто вроде перевернутой греческой буквы? знаком равенства — первая буква греческого слова ???? — равный. Все остальное выражалось в словесной форме. Известные величины всегда записывались в конкретной числовой форме, обозначений для известных, но произвольных чисел нет.

«Арифметика» Диофанта стада известна в Европе в 1463 г. С конца XV – начала XVI вв. сначала итальянские, а затем и другие европейские математики начинают пользоваться сокращенными обозначениями. Постепенно эти сокращения перекочевывают из арифметической алгебры в геометрическую — буквами начинают обозначать также неизвестные геометрические величины. В конце XVI в. француз Виет (1540–1603) делает следующий важнейший шаг — вводит буквенные обозначения для известных величин и получает тем самым возможность записывать уравнение в общем виде. Он же вводит термин «коэффициент». По внешнему виду символика Виета еще довольно далека от современной. Например, Виет пишет

К началу XVII в. ситуация в европейской математике была такова. Существовало две алгебры: первая — арифметическая, основанная на символике, созданной самими европейцами, и сделавшая существенный шаг вперед по сравнению с арифметикой древних; вторая — алгебра геометрическая — входила в состав геометрии. Она была почерпнута, как и геометрия в целом, от греков: основы — из «Начал» Евклида, дальнейшее развитие — главным образом из трудов Паппа Александрийского и Аполлония, которые к тому времени были хорошо изучены. Ничего существенно нового в ней сделано не было. Нельзя сказать, что между этими двумя алгебрами совсем не было связи: уравнения степени выше первой могли получить только геометрическую интерпретацию, ибо где еще могли возникнуть квадраты, кубы и высшие степени неизвестного числа, как не при вычислении площадей, объемов или при манипуляциях над отрезками, связанными сложной системой пропорций. Сами названия второй и третьей степени — квадрат и куб — говорят об этом весьма красноречиво. Тем не менее, разрыв между понятиями величины и числа оставался и в полном соответствии с греческим каноном настоящим доказательством считалось только геометрическое. Когда в уравнениях появлялись геометрические объекты — длины, площади, объемы, то они выступали либо как геометрические величины, либо как именованные числа. Геометрические величины мыслились обязательно как нечто пространственное и из-за наличия несоизмеримости не сводимое к числу.

В этой обстановке и сказал свое слово один из величайших мыслителей, когда-либо живших на земле, Ренэ Декарт (1596–1650).

11.8. Что сделал Декарт?

Роль Декарта как философа общепризнанна. Но, говоря о Декарте как о математике, обычно указывают, что он «усовершенствовал алгебраические обозначения и создал аналитическую геометрию». Иногда к этому добавляют, что примерно в то же самое время основные положения аналитической геометрии были выдвинуты независимо от Декарта его соотечественником Пьером Ферма (1601–1665), а что касается алгебраической символики, то ее уже вовсю использовал Виет. Выходит, что в области математики Декарту особенно похвастаться нечем, и, действительно, далеко не все авторы, пишущие об истории математики, отдают ему должное. Между тем Декарт произвел революцию в математике, он создал нечто несравненно большее, чем аналитическая геометрия (понимаемая как теория кривых на плоскости), а именно: новый подход к описанию явлений действительности — современный математический язык.

Иногда говорят, что Декарт «свел геометрию к алгебре», понимая под алгеброй, конечно, алгебру числовую, арифметическую. Это грубая ошибка. Верно, что Декарт преодолел пропасть между величиной и числом, между геометрией и арифметикой, но достиг он этого не сведением одного языка к другому, а созданием нового языка — языка алгебры. По синтаксису новый язык совпадает с арифметической алгеброй, но по семантике — с геометрической. Символы в языке Декарта обозначают не числа и не величины, а отношения величин. В этом — вся суть переворота, произведенного Декартом.

Современный читатель, пожалуй, недоуменно пожмет плечами: какая разница? Неужели этот логический нюанс мог иметь серьезное значение? Оказывается, мог. Именно этот нюанс помешал грекам сделать следующий шаг в своей математике.

Мы настолько привыкли ставить иррациональные числа на одну доску с рациональными, что перестали отдавать себе отчет в том, какое глубокое различие лежит между ними. Мы пишем v2 точно так же, как пишем ⁴/₅, и называем v2 числом, а когда нужно, заменяем на приближенное значение, и мы никак не можем понять, почему древние греки так болезненно реагировали на несоизмеримость отрезков. Но если немного подумать, то нельзя не согласиться с греками, что v2 — это не число. Его можно представить как бесконечный процесс, порождающий последовательные знаки разложения в десятичную дробь. Можно представить его также в виде сечения в области рациональных чисел, т. е. как некое правило, которое делит все рациональные числа на два класса: те, которые меньше v2 и которые больше v2. В данном случае правило весьма простое: рациональное число a относится к первому классу, если a ² < 2 и ко второму — в противном случае. Можно, наконец, представить v2 в виде отношения между двумя отрезками; в данном случае — между диагональю квадрата и его стороной. Эти представления эквивалентны между собой, но никак не эквивалентны представлению о целом или дробном числе.

Значит ли это, что мы совершаем ошибку или нестрогость, обращаясь с корнем из двух как с числом? Отнюдь нет. Цель математики — создание языковых моделей действительности, и хороши все средства, ведущие к этой цели. Почему бы нашему языку наряду со знаками типа ⁴/₅ не содержать и знаки типа v2? «Мой язык — что хочу, то и делаю». Важно только, чтобы мы умели интерпретировать эти знаки и совершать над ними языковые преобразования. Но интерпретировать v2 мы умеем. В практических вычислениях основой интерпретации может служить первое из приведенных выше представлений, в геометрической теории — третье. Умеем мы и производить выкладки с ними.

Теперь осталось только уточнить терминологию. Условимся то, что мы раньше называли числами, называть рациональными числами, новые объекты называть иррациональными числами, а просто числами (действительными числами по современной математической терминологии) называть и те и другие.

Итак, в конечном счете никакой принципиальной разницы между v2 и ⁴/₅ нет и мы оказались мудрее греков. Эту мудрость протаскивали контрабандой все те, кто оперировал со знаком v2 как с числом, признавая вместе с тем, что оно «иррационально». Обосновал и узаконил эту мудрость Декарт.