Система древнерусских саженей

Архитектор А.А.Пилецкий, исследовавший системы пропорционирования в древнерусской архитектуре, приводит следующий набор 12 древних саженей, полученный методом усреднения многих образцов измерительных инструментов [10]:

сажень городовая 284,8 см,

сажень без названия 258,4 см,

сажень великая 244,0 см,

греческая 230,4 см,

казенная 217,6 см,

царская 197,4см,

церковная 186, 4 см,

народная 176,0 см,

кладочная 159,7 см,

простая 150,8см,

малая 142,4см,

без названия 134,5 см

(некоторые сажени имели два и более названия, различные исследователи по-разному определяют их длину, названия двух саженей еще не найдены, и в настоящей работе они условно названы «меньшая» - 1,345 см и «большая» - 258,4 см. При дальнейшем изложении используются данные Пилецкого, который усредняет длину саженей с предполагаемым допуском ±1,5 см).

Кроме них в его работе встречаются еще три осредненных сажени без названия (нельзя исключить, что они были получены вычислением): 209,07 см (локоть этой сажени (52,27 см) в Египте называется царским локтем (?), что равнозначно названию «локоть фараона»), 205,4 см и 166,25 см (условно назовем египетской саженью). Отмечу, что сажень длиной 209,07 см на 4 мм меньше известной на сегодня длины древнеегипетской царской сажени 209,48 см, получаемой из царского локтя длиной 52,37 см умножением на 4 [11], и именно она, по-видимому, имела большое хождение в древности, поскольку длину ее локтя вычисляли с точностью ± 1,5 —2 см большинство исследователей пирамид, начиная с И. Ньютона (вычисленный им локоть длиной 52,395 см до сих пор носит название «локоть Ньютона»).

Обилие саженей различных видов, их диспропорциональность в единой кратности и несоразмерность никакому другому мерному инструменту, как уже упоминалось, всегда поражали исследователей и вызывали недоуменные вопросы о целесообразности такого числа типоразмеров. Ставит в тупик и отсутствие единой минимальной единицы измерения для всех саженей. (Таковыми, например, являются сантиметр для французского стандартного метра или дюйм для английского фута.) Древность времен скрыла от нас обстоятельства, породившие обилие саженей, а потому специалисты полагают, что единая основа пропорционирования совокупности всех их отсутствует и появление в качестве измерительного инструмента той или иной сажени есть следствие некоторого заимствования их или дробных им элементов у соседних народов. Да и о каком пропорционировании можно говорить, если заранее предполагается, что, например, церковная сажень имеет в основе древнеримские пассы, греческая — греческие оргии, великая сажень — шведский межевой локоть, а царская — египетский царский локоть и т.д. Иными словами, заранее предполагается, что славянский народ не был способен ввести единый измерительный инструмент, и потому собирает и бессознательно, диспропорционально использует знания, наработанные соседними народами. С этих позиций даже предположение о возможности существования строгой системы пропорционирования всех древнерусских саженей представляется просто невероятным. И, возможно, поэтому от исследователей ускользнула самая простая и самая совершенная из возможных систем пропорционирования, изначально заложенная в структуру древнерусских саженей — пропорционирование по золотому сечению. Или, что то же самое, кратность всех саженей золотому числу Ф=1,618033989.... Покажем ее, поделив последовательно величины пяти самых больших саженей на пять самых маленьких:
Ф = 284,8/176=258,4/159,7=244/150,8=230,4/142,4=
= 217,6/134,5=1,618.

Для доказательства пропорциональности числу Ф оставшихся царской и церковной саженей достаточно удвоить длину кладочной и простой саженей и разделить полученные результаты на длину царской и церковной саженей:
Ф = 159,7x2/197,4=150,8x2/186,4=1,618.

Известно, что пропорции, базирующиеся на золотом сечении, отличаются исключительно высокими эстетическими качествами и определяют наивысшую соразмерность между целым и его частями. А это означает, что все древнерусские сооружения, начиная с дворцов и храмов и кончая халупами под соломенной кровлей, несли в себе элементы гармонии золотого сечения.

Кратность всех саженей золотому числу (золотым пропорциям) однозначно демонстрирует надуманность всевозможных рассуждений о заимствовании в данную систему каких бы то ни было случайных измерительных инструментов (но не исключает обратного процесса — заимствования отдельных элементов системы другими народами, и, похоже, немалым их числом), да и древнерусские зодчие необоснованных или случайных размеров не допускали. Методы их творчества во многом остаются для нас загадочными. Они обладали, о чем и свидетельствует обилие пропорциональных "золоту" саженей, знанием, умением и методологией проектирования и возведения объектов, нам неведомыми и непонятными. Опуская вопросы проектирования и возведения объектов, рассмотрим, следуя А.А. Пилецкому [10], из каких элементов складывается система "золотых" русских мер и откуда она исторически исходит.

В структуру древнерусской системы мер явно заложены свойства числового ряда Фибоначчи (XIII век):
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55, 89,... 377, 610,987,1598,2885,...
образовывать каждый последующий член ряда из суммы двух предыдущих:
1+1=2; 1+2=3;... 13+21=34;... 377+610=987.......

Отношение в этом ряду двух соседних чисел (большего к меньшему) приближается к золотому числу Ф по мере увеличения порядковых номеров членов ряда:
3:2=1,5; 5:3=1,666; 21:13=1,615; 55:34=1,617;...
610:377=1,618....

Это один способ получения приблизительной величины Ф. Как было показано выше, более точная величина Ф находится из решения уравнения, получаемого при делении отрезка в крайнем и среднем отношениях.

Золотое иррациональное число Ф было известно еще в Древнем Египте как основа образования бесконечного ряда величин, обладающих свойствами чисел Фибоначчи, получаемых в результате умножения или деления базисной единицы 1 на золотое число Ф. Ветвь ряда, образуемая последовательным умножением 1 на Ф, называется восходящей:
1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090; 17,944; 29,034... →∞
а другая часть ряда, образуемая последовательным делением 1 на Ф, называется нисходящей:
1; 0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090; 0,056; 0,034... →0.

Само число 1, первые три члена восходящего ряда и семь членов ряда нисходящего составляют египетский ряд чисел, получивших название "золотая пропорция" или "золотое сечение".

Золотая пропорция — единственная геометрическая прогрессия, у которой каждый последующий член ряда получается, как и числа Фибоначчи, сложением двух предыдущих членов, а весь ряд, за исключением базисной 1, состоит из иррациональных чисел.

Еще одним очень важным качеством обладают и числа Фибоначчи и члены золотой пропорции. Это их многовариантная слагаемость, обеспечивающая получение различными способа. ми одного из чисел того же ряда. Например:
2+3+3+5+8+13+21=55;
3+5+13+34=55;
5+8+8+13+21=55 и т.д.,
что является элементами комбинаторики и позволяет образовывать из этих чисел взаимосоразмерные и композиционно совместимые в частях и между собой величины.

Основная особенность древнерусской измерительной системы, ее отличие от всех западноевропейских метрологии заключается в том, что уменьшение мерности инструмента (получение измерительных стержней масштаба меньшего, чем сажень) производилось последовательным делением соответствующей сажени на 2 (раздвоение).

Так, половина царской сажени — полусажень (98,7 см), четверть сажени (49,85 см) — царский локоть, 1/8 сажени или 1/2 царского локтя — 24,92 см и т.д. Используя это свойство, А.А. Пилецкий, по-видимому, впервые, создал более развитый вариант двойного пропорционирования, образовав единую систему чисел из нескольких рядов Фибоначчи:

Матрица 1

48
24	40
12	20	32	52
6	10	16	26	42
3	5	8	13	21	34	55
1,5	2,5	4	6,5	10,5	17	27,5	44,5
0,75	1,25	2	3,25	5,25	8,5	13,25	22,25	36	58,25
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Горизонтальные линии в этой системе являются рядами Фибоначчи, и потому сумма двух предыдущих членов равна последующему, а отношение соседних двух чисел (чем дальше от начала, тем больше) приближается к золотому числу Ф. По вертикали же использован принцип деления русских саженей и построена структура удвоения (вверх) или раздвоения (вниз) величин, и потому отноягение по вертикали всех столбцов описывается последовательностью:
1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;... или, что то же самое, 1 х 2ⁿ, где 2 является основанием, n → ∞

Полученная система обладает наивысшими комбинаторными свойствами для рациональных чисел, а каждая из них связана со всеми остальными числами. Любое из чисел можно получить множеством различных вариаций. Например:
3+52=55;
10+13+32=55;
4+5+13+16+17=55;
2x3+2x6,5+2x8+2x10=55 и т.д.

Именно эта схема, впервые полученная А.А. Пилецким, отображает системную зависимость между размерами саженей, "сложившихся" в Древней Руси. Используя ее, он пришел к построению системы пропорционирования, условно названную им как "Древнерусский всемер". Размеры саженей выписаны им в матрицу 2 с использованием правила раздвоения измерительных инструментов:

Матрица 2

	Египетская	Меньшая	Казенная	Народная	Малая	Греческая	Церковная	Простая	Великая	Царская	Кладочная	Большая	Фараона
					284,8
205,5			217,6			230,4			244,0			258,4
	166,3			176			186,4			197,4			209,1
		134,5			142,4			150,8			159,7
102,8			108,8			115,2			122,0			129,2
	83,1			88			93,2			98,7			104,5
		67,2			71,2			75,4			79,8
51,4			54,4			57,6			61,0			64,6
	41,6			44			46,6			49,4			52,3
		33,6			35,6			37,7			39,9
25,7			27,2			28,8			30,5			32,3
	20,8			22			23,3			24,7			26,1
					17,8			18,9			19,9

Числовая матрица 2 имеет структуру пересекающихся под тупым углом диагональных рядов цифр, исходными для которых являются размеры древнерусских саженей. Под каждой саженью вертикали располагаются ее половинки, четвертинки, восьмые и т.д. доли — система структурных величин одной сажени

По диагоналям слева направо вверх находятся числа, относящиеся к различным саженям, обладающие свойствами рядов Фибоначчи — два соседних нижних числа в сумме равны верхнему. По диагоналям сверху слева направо вниз в первых строках указаны числовые параметры древнерусских саженей (выделены жирным шрифтом).

Важнейшей особенностью матрицы 2, на которой автор не акцентировал внимания, является равенство золотому числу Ф отношения каждого верхнего числа к нижнему по диагонали, идущей слева направо вверх. Равенство как бы повторяет в каждой диагонали пропорции чисел египетского золотого ряда без базисной 1 и в то же время выявляет неудачность формы записи матрицы 2. Последняя не предполагает развития числовых пропорций по столбцам вверх. Возможность развития ограничивает не рамки матрицы, а представления о числах как об отображениях размеров саженей. Эти числа надо было считать иррациональными абстракциями, не имеющими никакого отношения к саженям, а являющимися только составной частью матрицы. И все же составление матрицы 2 было крупнейшим достижением А.А. Пилецкого, максимально приблизившим его к решению загадки золотых пропорций.

Вторая особенность в том, что данный «Всемер» превращал отдельные (как бы не связанные между собой) измерительные инструменты определенной длины в систему соразмерных, пропорциональных «золоту»- длин, образующих поле взаимосвязанных чисел — матрицу. Последняя и обусловливает числам органическую взаимосвязь всех мер длины — саженей.

Третья особенность: сажени «Всемера» четко распределяются на пять групп по столбцам (матрица 2), по три инструмента в каждом столбце, и на три строки, в нижней из которых находятся 4 числа саженей малой длины, в средней 5 саженей средней длины и в верхней 5 саженей наибольшей длины. Итого 14 взаимосвязанных матрицей саженей. И отдельно от них, но в такой же связи, городовая сажень, равная по длине сдвоенной малой — 2,848м.

Получение А.А Пилецким «Древнерусского всемера» оказывается важнейшим архитектурным открытием XX века в России. Перед нами необыкновенный соизмерительный инструмент, определяющий весь процесс зодческого творчества древности. Инструмент, обеспечивающий получение принципиально новых (а точнее сказать, полностью утраченных) числовых взаимосвязей, отображающих пропорциональное «золоту» совмещение длин саженей.

Запишем абстрактные величины, численно равные размерам саженей, в матрицу 3 иной формы, выделив их жирным шрифтом и отделив для наглядности верхнюю часть матрицы 3 от нижней интервалом в две строки. Поскольку структуры матрицы 2 и 3 аналогичны, ее можно назвать матрицей А.А. Пилецкого:

Матрица 3 (А.А. Пилецкого)

										2067
							1952	1579	1277	1033
				1843	1491	1206	976,0	789,6	638,8	516,8
	1740	1408	1139	921,6	745,6	603,2	488,0	394,8	319,4
1076	870,4	704,0	569,6	460,8	372,8	301,6
538	435,2	352,0	284,8							258,4
269							244,0	197,4	159,7	129,2
				230,4	186,4	150,8	122,0	98,7	79,85	64,6
	217,6	176,0	142,4	115,2	93,2	75,4	61,0	49,35	39,93	32,3
134,5	108,8	88,0	71,2	57,6	46,6	37,7	30,5	24,68	19,96	16,15
67,2	54,4	44,0	35,6	28,8	23,3	18,85	15,25	12,34	9,98	8,07
33,6	27,2	22,0	17,8	14,4	11,65	9,43	7,62	6,17	4,99
16,8	13,6	11,0	8,9	7,2	5,82	4,71
8,4	6,8	5,5	4,45
4,2

Числа столбцов матрицы А.А. Пилецкого, выступая в качестве измерительных величин, составляют поэлементную струк
туру каждой сажени. Покажу ее на примере сажени народной (мерной): сажень — 176 см; полсажени — 88см; локоть — 44см; пядь (поллоктя) — 22 см; пясть (полпяди, два вершка) — 11 см; вершок — 5,5 см. Все они, кроме вершка, делению не подлежали. Вершок мог делиться на любое число.

Матрица А.А. Пилецкого показывает, что все величины саженей, образующие отношения, равные Ф, находятся на диагоналях, идущих слева направо и вверх, что величина сажени городовой
есть удвоенная величина сажени малой и лежит на диагонали народной сажени. А результат удвоения величин саженей кладочной и простой также находится на диагоналях царской и церковной саженей (показано стрелками). Четыре наибольшие сажени (без городовой) — первые в тройках величин саженей одной строки — уменьшаются последовательно вправо в коэффициент 1,236... Сами же наибольшие сажени возрастают вправо в коэффициент 1,059... и как мерные линейки по цифровой величине являются округленными до четырех цифр иррациональными числами. Все размеры саженей, кроме крайних, могут быть связаны, как показано еще А.А. Пилецким [10], с габаритами человека следующей зависимостью (таблица 2):

Таблица 2

Рост человека
Очень мален. *	Маленький	Ниже сред.	Среднего.**	Выше сред.	Высокий	Очень высок.

* В числителе размер в положении с поднятой рукой, в знаменателе — рост человека.

** Не зная коэффициента 1,236..., А.А. Пилецкий поставил в столбец для среднего роста отношение 209,1/166,3, Числа 166,3 и 205,5 получаются последовательным умножением размера 134,5 на коэффициент 1,236...

Можно предположить, что именно это соотношение и послужило основой выбора числовых значений системы саженей, обеспечивающей возможность пропорционирования в совокупности многих моделей роста людей от очень низкого до очень высокого (209 см).

Таким образом, построение матрицы Л.А. Пилецкого доказывает принадлежность числовых значений саженей к определенной взаимосвязанной числовой системе, в которой:

• 
  матрица не имеет базисного числа;
• 
  поле чисел не ограничено ни в одну из сторон, а числовые значения саженией выбраны по некоторому, еще неизвестному, критерию;
• 
  основу матрицы составляет золотое число Ф, получаемое делением любого числа таблицы на меньшее по диагонали справа налево сверху вниз. Сумма двух восходящих чисел любой диагопали всегда равна третьему;
• 
  вертикальные столбцы кратны 2; структура матрицы А.А. Пилецкого не изменится в случае использования вместо знаменателя 2 любого другого числа;
• 
  числовые диагонали пересекаются под прямым углом и после довательность чисел диагонали слева направо и вниз кратна знаменателю 2,47213...;
• 
  горизонтальные ряды кратны 1,23606...;
• 
  величина числового поля матрицы имеет тенденции) возрастать в верхней части и уменьшаться в ее нижней части.

МОДУЛОР ЛЕ КОРБЮЗЬЕ

Пропорционирование частей зданий и сооружений, соответствующее природным пропорциям и пропорциям человека, его восприятию действительности и ощущениям, является важнейшим фактором нормального функционирования человеческого организма. Все чаще и чаще в научной литературе отмечается плодотворное влияние на человека конструкций, пропорционированных по золотому сечению. Как полагают, наиболее существенный вклад в архитектурную разработку новых систем пропорционирования в XX в. был сделан французским архитектором Ле Корбюзье, предложившем в конце 40-х годов таблицу-модулор с шагом, равным золотому числу Ф.

В основу модулора были положены конкретные пропорции человеческого тела — высота человека одного роста — одной модели. Причем, Ле Корбюзье пришлось отрабатывать несколько вариантов человека-образца. И поскольку это был образец, величину его роста и определили как средний или выше среднего. Ле Корбюзье пишет [12]: «... в первом варианте модулора он был ростом 175 см, а в положении с поднятой рукой имел размер 216 см. От этих исходных данных и были подсчитаны остальные» (рис. 8).

Я еще вернусь к этой первооснове модулора, но прежде отмечу те очевидные достоинства, которые обеспечили архитектурным конструкциям, возводимым на его основе, достижение эстетически совершенных пропорций, многовариантность компоновок и их некоторую соразмерность с пропорциями человека.

Как уже указывалось выше, золотое число получается в основном либо геометрическим способом (делением отрезка в крайнем и среднем отношениях), либо методом последовательных приближений по числовому ряду Фибоначчи. (Отмечу, что таких рядов немало, Фибоначчи явился автором первого зафиксированного ряда, и все они до А.А. Пилецкого, похоже, были одинарными. Первый двойной ряд и составил основу модулора ле Корбузье, хотя ему самому, вероятно, это не было понято, поскольку в публикациях не отражены его попытки представления красной и голубой линий в виде единой матрицы.)

Рис. 8. Модулор [12]

Модулор Ле Корбюзье построен как одинарный ряд на двух сдвинутых рядах Фибоначчи, условно названных автором красной и голубой линиями. Удвоение резко увеличило возможности архитектурной комбинаторики. Рассмотрим, какими коэффициентами связаны цифры красной и голубой линий (таблица 3):

Таблица 3

	0,806		0,806		0,806		0,806		0,806		0,806
красная		0,164		0,266		0,431		0,697		1,128		1,825
голубая			0,204		0,330		0,533		0,863		1,397		2,260
		1,306		1,306		1,306		1,306		1,306

Если теперь сдвинуть числа голубой линии в ряд красной, то получим полный ряд модулора Ле Корбюзье: 0,164; 0,204; 0,266; 0,330; 0,431; 0,533; 0,697; 0,863; 1,128; 1,397; 1,825; 2,260. Если разделить каждое число красной линии таблицы на стоящее по диагонали снизу и слева от него число голубой линии, то при каждом делении будем получать один и тот же коэффициент 1,306, а при делении чисел красной линии на стоящие слева и снизу от них числа голубой линии — коэффициент 0,806. Это указывает на то, что эти сдвинутые линии составляют одну числовую матрицу, имеющую структуру, аналогичную структуре матрицы А.А. Пилецкого, только, в отличие от нее, отношение по числу Ф проходит не по диагонали, а по горизонтали, и базисный шаг не равен 2. Эта связь и обусловливает моду лору Ле Корбюзье возможность широкого композиционного комбинирования в варианте, увязанном с ростом человека. То, что модулор ограничился всего двумя рядами матрицы А.А. Пилецкого и другим базисным шагом, — его основной недостаток. Именно это ограничило возможность варьирования вариантами роста человека, и в окончательном варианте модулор был рассчитан исходя из роста человека в 6 футов —183 см (последнее округленное число красной линии), и размер в положении с поднятой рукой — 226 см (синяя линия). Рассмотрим вариант построения модулора Ле Корбюзье по структуре матрицы А.А. Пилецкого (матрица 4):

Матрица 4

1,160	1,319	1,512			2,260
0,819	0,932	1,068		1,397		1,825
0,578	0,659	0,754	0,863		1,128
0,409	0,465	0,533		0,697
0,289	0,330	0,376	0,431
0,204	0,232	0,266
0,144	0,164	0,188

Анализируя матрицу 4, убеждаемся, что ее структура полностью повторяет структуру матрицы А. А. Пилецкого, включая отсутствие базисной 1, и на этом сходство заканчивается. Шаг чисел по вертикали, который в матрице А.А. Пилецкого равен 2, в матрице Ле Корьбюзье равен 1,41556..., все клетки матрицы могут быть заполнены (показано светлым шрифтом на примере трех левых столбцов), но в данной области они не образуют соразмерной системы мер, подобной системе древнерусских саженей, и потому не могут быть рекомендованы для применения при пропорционировании объектов.

Модулор Ле Корбюзье позволяет, естественно, получать некоторые распространенные виды пропорций золотого числа:
Ф = 1,618; 2/Ф = 1,236; Ф²/2 = 1,309; 2/Ф² = 0,472...

Не останавливаясь на их архитектурном значении, отмечу, что их достаточно много, они определяют сопряженность и эстетичность зданий и сооружений, и только небольшая часть их входит в пропорции Ле Корбюзье. Более того, ограниченность модулора исходными данными одного человека (образца определенной высоты) автоматически не соизмеряет пропорции модулора с ростом других людей, а следовательно, обусловливает отступление от пропорциональности в конструировании частей объектов. Не поэтому ли Ле Корбюзье неоднократно менял размер образца, пытаясь расширить диапазон применимости модулора.

Но не этот недостаток следует считать самым существенным Еще раз вернемся к его структуре и отметим, что золотое число Ф получается последовательным делением друг на друга чисел как красной, так и голубой линий. Если же провести последовательное деление каждого числа друг на друга
2,260/1,829 = 1,236; 1,829/1,397 = 1,309;
1,397/1,130 = 1,236; 1,130/0,863 = 1,309 и т.д., то получим чередование двух чисел 1,236 и 1,309. Теперь определим для каждого из этих чисел то, которое является кратных для них:
1,309/1,236 = 1,05492....

Число, кратное для всех чисел рядов Ле Корбюзье, является также иррациональным и равно 1,05492.... А это, как будет показано ниже, означает что все конструкции, построенные на основе модулора Ле Корбюзье, кратны единому множителю и потому при внесении в структуру строительного объекта превращают данный объект в сооружение, непригодное для проживания. Следовательно, красота и эстетичность строительного объекта, создаваемая модулором, еще не являются гарантией безопасности проживания в нем.