Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица можно сформулировать так: линейная СУ, описываемая характеристическим уравнением

(7.10)

устойчива, если положительны все n +1 коэффициентов a_i, и все n определителей D _i вида

. (7.11)

Если хотя бы один из определителей (7.11), называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Матрицы (7.11), по которым вычисляют определители Гурвица D _i, составляют следующим образом: на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического уравнения от а ₁ до a_i (в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами; на место коэффициентов с индексами больше n или меньше нуля проставляют нули. При этом каждая i -я матрица получается квадратной размером i ´ i.

Всегда главный определитель D _n

(7.12)

Если главный определитель D _n =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учётом выражения (7.12) это условие распадается на два

(7.13)

Условию D _n =0 соответствует один нулевой корень, т. е. апериодическая граница устойчивости, а условию D _{n -1}=0 – пара мнимых корней, т. е. колебательная граница устойчивости.

Рассмотрим ч а с т н ы е с л у ч а и к р и т е р и я Г у р в и ц а для

n =1; 2; 3; 4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n =1)

(7.14)

условие устойчивости

(7.15)

т. е. положительность коэффициентов уравнения является в данном случае необходимым и достаточным условием. Действительно, при единственный корень уравнения будет отрицательным: р ₁=-(а ₁/ а ₀)<0.

2. Для уравнения второго порядка (n =2)

(7.16)

условие устойчивости

(7.17)

Таким образом, и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n =3)

(7.18)

условие устойчивости

(7.19)

Последнее неравенство при а ₃>0 эквивалентно неравенству D₂>0. Следовательно, для системы третьего порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется, чтобы D₂>0. Учитывая выражение для D₂, можно сформулировать следующее мнемоническое правило оценки устойчивости систем третьего порядка: произведение средних коэффициентов уравнения должно быть больше произведения крайних.

Частота колебаний на границе устойчивости (D₂=0)

(7.20)

4. Для уравнения четвёртого порядка (n =4)

(7.21)

кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

(7.22)

Нетрудно доказать, что при положительности всех коэффициентов условие (7.22) обеспечивает выполнение и условия D₂>0.

Таким образом, для устойчивости систем не выше четвёртого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель D _{n -1} были положительны.

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n >5 вычисление определителей становится громоздким.

Пример. Определим с помощью критерия Гурвица, устойчива ли система управления частотой вращения вала двигателя (см. раздел 5.2) при следующих значениях параметров:

Т _м=1 с; Т _э=0,1 с; Т _г=0,5 с; k = k _у k _тп k _г k _д k _тг=14. (7.23)

Характеристическое уравнение системы

(7.24)

Приводя это уравнение к форме (7.18), получим значения коэффициентов:

(7.25)

Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, т. е. необходимое условие устойчивости выполняется. Проверим, выполняется ли достаточное условие: вычислим определитель

(7.26)

он больше нуля, следовательно, система устойчива.

Решим теперь обратную задачу: определим, какое максимальное значение общего ПК k допустимо по условию устойчивости.

Максимально допустимое значение коэффициента k найдём из условия нахождения системы на колебательной границе устойчивости

(7.27)

Отсюда

(7.28)

а максимально допустимое значение общего ПК

(7.29)

Условию нахождения системы на апериодической границе устойчивости (а ₃=0) соответствует второе предельное значение передаточного коэффициента

(7.30)

Поясним физический смысл этого результата. Знак «минус» соответствует положительной обратной связи в главном контуре системы. Следовательно, рассматриваемая статическая система устойчива и при положительной обратной связи, но если общий передаточный коэффициент по модулю меньше единицы.

Отметим, что точность системы в режиме положительной обратной связи совершенно неудовлетворительна.