Краткая теория. Переходные процессы в системе с конденсатором

Лабораторная работа № 4

Переходные процессы в системе с конденсатором

Цель работы: изучение нестационарных процессов на примере заря­да и

разряда конденсатора.

Приборы: источник питания «РСН-18», набор конденсаторов, самописец «Н-307/2», двухполюсный переключатель, магазин сопротивления «Р-33».

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Во многих физических задачах мы имеем дело не с отдельными элементами: сопротивлениями, конденсаторами, катушками, а с раз­личного рода их сочетанием - системами. Физические величины, ко­торые могут быть, вообще говоря, функциями времени и характери­зуют состояние системы, называют параметрами или координатами системы.

Наблюдая за изменением параметров системы, мы можем обнару­жить, что они либо изменяются со временем, либо остаются постоянными. Если параметры, характеризующие систему, неизменны во времени, то говорят, что система находится в стационарном состояниисостоянии. Например, ток в цепи, содержащей химический источник пос­тоянной ЭДС иомическое сопротивление, не зависит явно от времени, постоянство тока обеспечивается химическими процессами, протекающими в батарее.

Воздействуя внешними силами на систему, её можно вывести из стационарного состояния. Внешние силы совершают работу, одним из результатов которой может быть изменение энергии системы, в частности, увеличение энергии. После прекра­щения действия внешней силы в системе может быть совершен про­цесс, обеспечивающий переход её в прежнее состояние. Если в системе может происходить диссипация-рассеяние энергия, то спустя достаточно большой промежуток времени система окажется в состо­янии с наиболее низкой потенциальной энергией, в противном слу­чае в ней могут возникнуть колебания.

Процесс перехода системы в стационарное состояние после приложения или снятия внешних сил называется переходным процес­сом. Промежуток времени, характеризующий длительность переход­ного процесса, называется характерным временем или временем ре­лаксации. Если система стремится к стационарному состоянию по экспоненциальному закону, время релаксации определяет как время, в течение которого один из выбранных параметров системы из­менится в «» раз.

В настоящей работе мы будем рассматривать электрическую систему, состоящую из конденсатора и омического сопротивления. Состояние этой системы можно характеризовать следующими пара­метрами: ток в цепи, напряжение илизаряд на конденсаторе. Ис­точник постоянной ЭДС играет роль источника внешних сил.

ЗАРЯД КОНДЕНСАТОРА

Рассмотрим схему, содержащую источник постоянной ЭДС , ключ , резистор , конденсатор и гальванометр (рис.1).

Рис. 1. Цепь заряда конденсатора.

Включение конденсатора в последовательную цепь означает просто разрыв этой цепи для постоянного тока. Поэтому можно бы­ло бы он ожидать, что при замыкании цепи, изображенной на рис. 1, гальванометр докажет отсутствие тока. Однако, если выбрать дос­таточно чувствительный и быстродействующий гальванометр и вни­мательно проследить во времени за током в цепи сразу после замы­кания ключа , то можно убедиться, что величина тока, имея не­которое значение в начальный момент времени, постепенно уменьшается до нуля. Это означает, что ток в цепи, а, следовательно, за­ряд и напряжение на обкладках конденсатора зависят от времени.

Ниже мы качественно обсудим физические процессы в схемах, содержащих конденсатор. Электродвижущие силы разделяют положи­тельные и отрицательные заряды в источнике тока и перемещают их к соответствующим полюсам источника. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не создастся в источнике тока элек­трическое поле такое, что работа этого поля по перемещению за­ряда от одного полюса источника к другому не сравняется с работой сторонних сил . Электростатическое поле в источнике и окружающем пространстве создается зарядами, накопленными на его полюсах (рис. 2, а). Если присоединить к полюсам проводники, не образующие замкнутой цепи, то под действием этого поля произой­дет перераспределение зарядов на поверхностях проводников (в электростатике внутри проводника объемный заряд равен нулю, т.е. полный заряд любого физически малого объема равен нулю). Свободные электроны проводников испытывают действие сил и (рис. 2, б) и сместятся в сторону, противоположную направлению век­торов поля и . Изменение местоположения заряда вызывает су­щественное изменение электрического поля лишь в некоторой малой окрестности этого заряда (поле точечного заряда , где - расстояние от заряда до точки наблюдения). И другие заряды, располагающиеся здесь, также сместятся и в свою очередь изменят поле вокруг себя. Будут иметь место последовательные во времени и пространстве изменения поля и поверхностной плотности заряда. Иными словами, вдоль проводника будет распростра­няться электромагнитное возмущение (волна) поля и заряда. Скорость распространения такого возмущения, как известно, не может превы­шать скорости света в вакууме .

Итак со скоростью порядка устанавливается некоторое распре­деление поверхностного заряда на проводнике. Под действием поля этого заряда часть заряда с полюсов источника переходит на про­водники и . Это приводит к ослаблению поля внутри источника. Как указывалось выше, сторонние не электростатические силы стре­мятся восстановить равенство работ поля и сторонних сил по пе­ремещению заряда от одного к другому полюсу источника тока. Они пополняют заряд полюсов и мощного источника, это происходит очень быстро. Перемещение зарядов с полюсов на пластины и попол­нение зарядов полюсов за счет ЭДС источника образуют токи через поперечное сечение проводников (, и ) и через источник (). Эти токи будут существовать до тех пор, пока напряженность поля внутри проводников не обратится в нуль, т.е. пока разность потенциалов между любыми точками проводников к не станет разной ЭДС источника. Очевидно, что продолжительность токов будет тем больше, чем больше электроемкость и сопротивлениепроводни­ков и и соединяющих проводников . Чем больше емкость (, тем больший заряд надо сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал. Емкость проводника определяется его размерами:

а) б) в)

Рис. 2.

(чем они больше, тем больше емкость), формой, диэлектрической проницаемостью (чем, больше , тем больше емкость). Чем больше сопротивление проводника, тем больше времени потребуется для про­хождения заряда по нему.

Наконец заметим, что в наших рассуждениях ничегоничто не изменится, если проводники и сблизить (рис. 2, в).

Проведем количественный анализ процесса зарядки конденсато­ра в схеме, показанной на рис. 1. Чтобы изучить динамические процессы (т. е. поведение параметров во времени) в любой физи­ческой системе, следует написать уравнение движения для нее. Это будет дифференциальное или интегральное, или интегро-дифференциальное уравнение, связывающее координаты системы (параметры) и действующие на нее силы. Сложная система описывается набором таких уравнений относительно многих переменных. Решение уравнения движения при заданных начальных условиях определяет временное поведение параметров системы. Для любых квазистационарных цепей, к числу которых относится и рассматриваемая схема, уравнения движения могут быть составлены путем применения правил Кирхгофаi которые являются следствием закона сохранения заряда и закона электромагнитной индукции Фарадея.

Согласно правилу Кирхгофа для цепи, изображенной на рис. 1, после замыкания ключа в любой момент времени выполняется следующее уравнение движения:

, (1)

где и - напряжение на резисторе и конденсаторе соответствен­но. Внутреннее сопротивление гальванометра, сопротивление соединительных проводов считается пренебрежимо малым. Используя определениеопределение тока

, закон Ома и формулу, связывающую заряд конденсатора с его емкостью и напряжением на нем , перепишем (1):

(2)

Дополним уравнение движения (2) простейшим начальным усло­вием. Пусть ключ замыкается в момент времени и пусть заряд на обкладках конденсатора при разомкнутом ключе отсутствует, т. е. . Поскольку заряд не может перемещаться с бесконечно боль­шой скоростью, то при замыкании ключа по-прежнему выполняется условие . Так как и , то это начальное условие эквивалентно:

(2.2)

Сделав замену переменной , преобразуем задачу (2, 2.2) к

виду

(3)

Начальное условие:

(3.3)

Решая задачу (3, 3.3), например методом разделения переменных, и, переходя обратно к переменной , имеем напряжение на конденсаторе в любой момент времени :

, (4)

где называется постоянной -цепи или временем ре­лаксации.

Воспользовавшись уравнениями (1) и (4), получим закон изменениятока в цепи заряда конденсатора

, (5)

где . Умножив (4) на значение емкости , получим за­кон изменения заряда на конденсаторе

, (6)

где .

РАЗРЯД КОНДЕНСАТОРА

Цепь для изучения разряда конденсатора будет отличаться от цепи заряда отсутствием источника ЭДС (рис. 3),

Рис. 3. Цепь разряда конденсатора.

Для анализа процессов в этой схеме применимы все основ­ные положения, высказанные выше. Воспользовавшись соображениями, приведенными в предыдущем разделе, легко получить значе­ния напряжения , заряда на конденсаторе и тока в цепи в любой момент времени при разряде конденсатора ():

, (7)

, (8)

Кривые изображенные на рис. 4, иллюстрируют развитие про­цесса заряда и разряда конденсатора во времени.

а) б)

Рис. 4.