Доказательство. Данную формулу можно доказать методом математической индукции

Данную формулу можно доказать методом математической индукции. Ниже представлено комбинаторное доказательство.

Запишем (a+b)ⁿ в виде произведения (a+b)ⁿ=(a+b) × (a+b) × …× (a+b).

Раскроем скобки в правой части этого равенства и запишем все слагаемые в виде произведения n сомножителей а и b в том порядке, в котором они появляются.

Например, (a+b)² запишется в виде (a+b)²=(a+b) × (a+b)=aa+ab+ba+bb, а (a+b)³– в виде (a+b)³=(a+b)×(a+b)×(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb.

Видно, что в обе формулы входят все размещения с повторениями, составленные из букв а и b по две (три) буквы в каждом.

В общем случае – после раскрытия скобок получим всевозможные размещения с повторениями букв а и b, состоящие из n элементов. Используя коммутативность, приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв а (тогда и букв b в них будет одинаковое количество). Членов, в которые входит k букв a и, следовательно, (n–k) букв b ровно Р(k, n–k)= . Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение a^kb^n-k войдет с коэффициентом , поэтому формула примет вид: .

Задача.

Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении (3х+2у)⁴, используя формулу бинома Ньютона.

Решение.

Задача.

Найти коэффициент при х² в разложении (2х+3)⁶.

Решение.

В данной задаче требуется найти коэффициент только при х², поэтому нет необходимости раскрывать все выражение по формуле бинома Ньютона. Достаточно рассмотреть только одно слагаемое

.

Таким образом, х² в разложении (2х+3)⁶ будет иметь коэффициент 4 860.

Числа называют биномиальными коэффициентами.

С помощью бинома Ньютона легко доказать свойства биномиальных коэффициентов (чисел ).