Понятие о передаточной функции

Каждый отдельный элемент и система в целом описываются при помощи дифференциального уравнения общего вида:

(1.14)

при этом

Работать с такого рода дифференциальными уравнениями и получать их решение y(t) достаточно трудоёмко, поэтому был разработан более простой способ анализа работы САУ при помощи алгебраических уравнений.

Чтобы получить алгебраическую форму записи последовательно вводят сначала замену операции дифференцирования на оператор дифференцирования, а затем оператор дифференцирования при нулевых начальных условиях приравнивают оператору Лапласа. В результате перечисленных действий получаем алгебраическое уравнение, записанное в изображениях по Лапласу:

(1.15)

при этом

где - оператор Лапласа.

Используя алгебраическое уравнение достаточно просто находить по изображению оригиналы, т.е. легко определить решение дифференциального уравнения (решение y(t) позволяет проводить качественный анализ и делать заключение о работоспособности системы и о качественности её работы).

Нахождение изображения и оригиналов можно выполнить, используя соответствующие таблицы или теорему разложения. Прямое преобразование Лапласа подразумевает нахождение изображения функции по известному её оригиналу:

(1.16)

Обратное преобразование подразумевает определение оригинала функции по её изображению:

(1.17)

Передаточная функция элемента или системы в целом определяет отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях:

(1.18)

Полином, записанный в знаменателе называется характеристическим полиномом звена (системы). Если его приравнять к нулю, то получим характеристическое уравнение звена (системы):

(1.19)

Корни характеристического уравнения обычно отождествляют с корнями передаточной функции. Корни уравнения записанного в числителе называются нулями передаточной функции.