Исходная задача в канонической форме

f(x)=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_nàmin

a₁₁x₁+a₂₁x₂+..+a_n1x_n=b₁

a₁₂x₁+a₂₂x₂+..+a_n2x_n=b₂

…………………………..

a_1mx₁+a_2mx₂+..+a_nmx_n=b_m

x_i>=0, i=1,n

Двойственная ЗЛП

g(y)=b₁y₁+b₂y₂+…+b_my_màmax

a₁₁y₁+a₁₂y₂+…+a_1my_m<=c₁

a₂₁y₁+a₂₂y₂+…+a_2my_m<=c₂

………………………….

a_n1y₁+a_n2y₂+…+a_nmy_m<=c_n

В не симметричной двойственной задачи не накладываются условия не отрицательности переменных. Если исходная ЗЛП записана в произвольной форме, то для записи двойственной задачи следует сначала привести исходную задачу к канонической или стандартной формам, а затем выписывать двойственную задачу, при желании полученную двойственную задачу также модно привести к какой-либо не стандартной форме.

Свойства двойственных задач

Теорема1: Для пары двойственных задач справедливо соотношение max_yg(y)<=min_xf(x) Такое соотношение справедливо и для семантической и для не семантической пары. Из сформулированной теоремы вытекает 2 свойства:

• если в одной задаче из пары двойственных задач ЦФ не ограничена, то во второй задаче ОДР пуста
• если для планов x^* и y^* выполняется условие f(x^*)=cx^*=g(y^*)=by^*, то планы являются оптимальными.

Теорема2: Для пары двойственных задач справедливо следующее равенство max_yg(y)=min_xf(x)

Теорема3: (для не симметричной пары двойственных задач)

_1. Если i компонента x^*_i оптимального плана исходной задачи строго положительна, то i ограничение двойственной задачи при подстановке в него оптимального плана превращается в строгое равенство a_i1y₁^*+a_i2y₂^*+…+a_imy_m^*=c_i

_2. Если i компонента x_i^* оптимального плана исходной задачи равна нулю, то i ограничении двойственной задачи при подстановке в него оптимального плана превращается в неравенство следующего вида a_i1y₁^*+a_i2y₂^*+…+a_imy_m^*<=c_i

Теорема3: (для симметричной пары двойственных задач)

1. Если i компонента, оптимального плана какой-то задачи, положительна, то i ограничение двойственной задачи при подстановке в него оптимального плана превращается в равенство

2. Если i компонента оптимального плана двойственной задачи равна 0, то i ограничение исходной задачи при подстановке в него оптимального плана превращается в строгое равенство.

Методы субъективных измерений в задачах с неопределенностями. Основные понятия, суть, достоинства и недостатки методов.

К методам субъективных измерений относятся:

• метод ранжирования
• метод парного сравнения
• метод непосредственной оценки

Ранжирование представляет собой процесс упорядочивания объектов ЛПР или эксперт на основе знаний и опыта располагает объекты в порядке предпочтения по одному или нескольким показателям сравнения. Пусть имеется конечное множество объектов X=(x₁,x₂,…,x_m). В результате их сравнения составляется некоторое упорядочение, например x₁>x₂>x₃>…>x_m, где х₁ самый предпочтительный объект; х₂ объект менее предпочтительный чем первый и более предпочтительный чем третий и т. д.

Такое упорядочение образует строгий порядок. Доказано, что такому упорядочению можно поставить в соответствие следующее упорядочение чисел. с₁>c₂>…>c_m, где С_i=f(x_i)

Чаще всего в практике ранжирования

c₁=f(x₁)=1

c₂=f(x₂)=2

……………

c_m=f(x_m)=m

В этом случае числа с₁,с₂,…,с_m называются рангами и обозначаются r₁,r₂,…,r_m. Бывают случаи когда между объектами имеется отношение эквивалентности, тогда имеют не строгий порядок, например: x₁>x₂>x₃~x₄~x₅>x₆>…>x_m-1~x_m, где x₃,x₄,x₅ и x_m-1 эквивалентные объекты, таким объектам присваиваются одинаковые ранги, которые определяют как среднее арифметическое рангов этих объектов. Такие ранги называют связанными, и они могут быть дробными.

При групповом ранжировании каждый эксперт S присваивает каждому объекту i ранг z_is в результате чего получают матрицу рангов ||r_is|| размерности m*d, где m – количество объектов d – количество экспертов.

Аналогичный вид будет иметь матрица в том случае, когда ранжирование производит один эксперт по нескольким показателям сравнения.

Вывод: Ранги объектов определяют только порядок расположения объектов по показателям сравнения, ранги как числа на дают возможность судить о том на сколько или во сколько раз один объект более предпочтителен чем другой.

ДОСТОИНСТВА: достоинством является простота осуществляемых процедур, поскольку требует минимум трудозатрат.

НЕДОСТАТКИ: недостатком является невозможность упорядочить большое число объектов (более 20), т. к. при увеличении числа объектов количество связей между ними растет пропорционально количеству объектов. Человек не в состоянии хранить в своей памяти и анализировать такую совокупность связей между объектами.

Метод парных сравнений Этот метод представляет собой процесс установления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. Сравнивая пару объектов, ЛПР может высказать одно из следующих мнений:

• x_i>x_j
• x_i<x_j
• x_i~x_j

В практике парного сравнения используют следующие числовые представления

1,x_i>=x_j

C_ij= (1)