Означення

49. Коротко означення границы можна записати так:

( >0 N=N(): n>N < ) = x₀ ,

Розглянемо геометричний зміст границі послідовності:

Нерівність < рівносильна нерівностям – < < , або - < < + , які

Показують, що елемент знаходиться в -околі точки .Тому означення границі геометрично можна сформулювати так: число наз.границею послідовності ,якщо для довільного -окола точки існує такий номер N=N(),що всі значення , для яких n>N, попадають в цей окіл. Поза цим може залишитися хіба що скінчена кількість членів послідовності .

50. у=f(x)

В

А мал.(1)

Нехай функція у=f(x) мал.(1) визначена в деякому околі точки x_0. Число А наз. границею функції у=f(x) зліва в точці x_0, якщо для будь-якого числа >0 існує число = ()>0 таке, що при х (x₀ – ; x₀) виконується нерівність < .

Число B наз. границею функції у=f(x) справа в точці x_0, якщо для будь-якого числа >0 існує число = ()>0 таке, що при х (x_0; x₀ + ;) виконується нерівність < .

Ліву і праву границі функції мал.(1) називають односторонніми границями.

Необхідна і достатня умова існування границі функції в точці:

Умова f( x₀ +0)=f(x₀ -0) є необхідною і достатньою для існування границі функції у=f(x) в точці x₀: (f(x₀+0)=f(x₀-0)=A) .

№53

Перша чудова границя:

При знаходжені границі виразів що містять тригонометричні функції було виведено

Наслідки з першої чудової границі

Друга чудова границя

Її наслідки

№54

Нехай функція f(x) визначена в точці і даному околі цієї точки функція f(x) називається неперервною якщо її значення дорівнює 0.

Можна дати ще одне означення неперервності функції опираючись на поняття приростів аргументу. Якщо нескінченно малому прирісту аргументу х в точці х = х0 відповідає нескінченно малий приріст у функції, що визначена в точці х0 та в її околі, то функцію у = (х) називають неперервною при х = х0 або в точці х0.

Різниця х-х0 називається приростом аргументу в т. х0

Різниця відповідних значень функції f(x)-f(x0) називається приростом функції в т. х0.

- попарно ортогональні орти, то ²= ²= ²=1,

· = = · =0, тому · = а_хb_x + a_yb_y + a_zb_z.

Отже, скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат, дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат.

Висновки з отриманого:

а_хb_x + a_yb_y + a_zb_z=0- умова перпендикулярності векторів.