Метод Гауса-Жордана

Особливістю метода Гауса-Жордана [1, 4, 12] є перетворення системи (2.1) (прямий хід) до еквівалентної з одиничною матрицею коефіцієнтів виду:

, (2.41)

тобто системи, яка містить тільки одиничну діагональ.

Для отримання такої системи в прямий хід алгоритму базового методу Гауса (з послідовним виключенням невідомих) додатково вводяться такі дії:

1. Організація циклу по k по всім рівнянням від 1 до N-1 (k = 1, 2, …, N-1).

2. Процедура вибору головного елементу в кожному k- му стовпці при ;

3. Процедура нормування k- го рівняння системи, тобто в k –му рівнянні кожен коефіцієнт a_{k j} розділити на , включаючи , так, щоб коефіцієнт =1.

4. Перетворення всіх рівнянь системи, починаючи з 1 –го до N у відповідності з базовим алгоритмом Гауса з метою отримати еквівалентну систему з одиничною діагоналлю. В даному випадку для розрахунку коефіцієнтів a_{i j} використовуються ті самі формули, що і в базовому алгоритмі Гауса:

; ; ,

але використовуються вони для всіх рівнянь з 1 –го до N крім k –го, в якому остається коефіцієнт рівний одиниці.

5. Кінець циклу по k.

Обернений хід методу Гауса-Жордана дуже простий і використовує наступні формули:

x _{k=b k} , при k=1,2,…,n.

Схема алгоритму методу Гауса-Жордана представлена на рисунку 2.6.

Рисунок 2.6. – Схема алгоритму методу Гауса-Жордана

Питання та задачі до самостійної роботи

1. Яку систему називають системою лінійних алгебраїчних рівнянь?

2. Що називається розв'язком СЛАР?

3. Яка система називається сумісною і несумісною?

4. Яка система називається визначеною і невизначеною?

5. Яка система називається виродженою і невиродженою?

6. Які системи називаються еквівалентними?

7. Яку СЛАР можна розв'язати на ЕОМ?

8. Які методи відносять до точних (дати означення і перелічити методи)?

9. Які методи відносять до наближених (дати означення і перелічити методи)?

10. В чому суть алгоритмів методу Гауса?

11. В чому суть прямого ходу в методах Гауса?

12. В чому суть зворотного ходу в методах Гауса?

13. Для чого в методі Гауса з послідовним виключенням елементів вводиться множник М і переставляють рівняння.

14. Чим відрізняються алгоритми методів Гауса з послідовним виключенням елементів і вибором головного елементу?

15. Чим відрізняються алгоритми методів Гауса з вибором головного елементу і з одиничною діагоналлю?

16. Чим відрізняються алгоритми методів Гауса з одиничною діагоналлю і Гауса-Жордана?

17. В чому суть методу Гауса за схемою Халецького?

18. Яку систему отримано в результаті прямого ходу методу Гауса-Жордана?