Математический анализ и линейная алгебра. 6 страница

б) угол между ребрами и ;

в) площадь грани ;

г) объем пирамиды;

д) высоту, опущенную из вершины .

2. Вычислить двойной интеграл

где D – треугольник с вершинами .

3. Для функции

Найти:

а) - производную по направлению от точки к точке

в точке ;

б) - градиент в точке ;

в) локальные экстремумы функции ;

г) наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике ,

где ;

д) уравнение плоскости .

4. Найти решение задачи Коши для следующих уравнений:

а) , ;

б) , .

5. Найти общее решение дифференциального уравнения:

6. Найти суммы рядов:

а) ;

б) .

7. Найти радиусы сходимости и области сходимости степенных рядов:

а) ;

б) .

8. Разложить функции:

а) ;

б)

в ряд Тейлора по степеням , .

Вопросы к экзамену

Первый семестр

1. Множества и способы задания множеств. Операции над множествами.

2. Общее понятие функции. Основные определения.

3. Множество вещественных чисел. Аксиома непрерывности. Классификация вещественных чисел. Основное модульное неравенство.

4. Окрестности и полуокрестности. Предельные точки. Открытые и замкнутые множества.

5. Грани числовых множеств. Теорема о точной верхней грани. Лемма Гейне-Бореля-Лебега о покрытиях.

6. Понятие числовой функции и способы их задания. Грани функций.

7. Четные, нечетные, периодические, монотонные функции. Классификация элементарных функций.

8. Понятие числовой последовательности. Аналитическое и геометрическое описание предела.

9. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Бесконечные пределы последовательности и единственность предела.

10. Ограниченность сходящейся последовательности. Предельный переход в неравенствах. Свойство линейности. Предел неубывающей последовательности.

11. Число e. Понятие подпоследовательности. Теорема о пределе промежуточной последовательности. Принцип Кантора о вложенных отрезках.

12. Принцип Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности. Фундаментальные последовательности и критерий Коши.

13. Замечательные (важнейшие) пределы. Таблица эквивалентных последовательностей.

14. Предел числовой функции. Основные свойства функций, имеющих предел. Свойство устойчивости. Теорема о пределе промежуточной функции. Бесконечные пределы функции.

15. Критерий эквивалентности. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций.

16. Точки разрыва и их классификация. Свойства непрерывных функций на отрезке. Теорема Вейерштрасса.

17. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши.

18. Производная. Основные определения. Геометрический смысл производной.

19. Вычисление производных основных элементарных функций. Производная обратной функции. Таблица производных.

20. Дифференцируемость и непрерывность. Простейшие правила вычисления производных.

21. Дифференциал и инвариантность его формы. Производные и дифференциалы высших порядков.

22. Необходимое условие локального экстремума. Теорема Ролля. Теорема Коши.

23. Раскрытие неопределенности по правилу Бернулли – Лопиталя. Другие виды неопределенности.

24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, в форме Лагранжа. Приложения формулы Тейлора.

25. Исследование функций с помощью производных. Возрастание и убывание функции. Достаточные условия существования экстремума.

26. Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функции.

27. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции.

28. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.

29. Основные правила интегрирования. Метод подстановки в неопределенном интеграле.

30. Метод интегрирования по частям. Возвратные интегралы.

31. Интегрирование квадратных иррациональностей. Интегрирование рациональных функций.

32. Определённый интеграл. Теорема о среднем. Основная теорема анализа. Площадь плоской области. Длина дуги кривой. Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения.

33. Несобственные интегралы 1-ого, 2-ого рода.

34. Линейные пространства. Линейная зависимость. Базис, размерность пространства.

35. Матрица и определитель.Свойства определителей.

36. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

37. Действия над матрицами. Нахождение обратной матрицы.

38. Системы однородных уравнений. Метод Гаусса для однородных уравнений.

39. Понятие ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

40. Метод Крамера. Метод обратной матрицы. Собственные значения и собственные векторы.

41. Векторы. Линейные операции над векторами. Базис. Разложение вектора по базису. Радиус-вектор точки.

42. Скалярное и векторное произведение векторов. Смешанное произведение трёх векторов.

43. Различные способы записи уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

44. Различные виды уравнений плоскости. Прямая линия в пространстве. Пучок плоскостей.

45. Линии второго порядка.

Второй семестр

1. Пространства . Основные определения и свойства.

2. Функции нескольких переменных. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

3. Частные производные первого и второго порядка функции нескольких переменных. Полный дифференциал и дифференцируемость функций нескольких переменных.

4. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Дифференцирование сложной функции. Дифференциалы высших порядков.

5. Выпуклое множество и выпуклость функций нескольких переменных. Свойства выпуклых функций. Непрерывность выпуклых функций.

6. Критерий выпуклости функций. Матрица Гессе. Критерий Сильвестра.

7. Производная функции по направлению и градиент.

8. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

9. Формула Тейлора для функции двух переменных.

10. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции. Метод множителей Лагранжа.

11. Дифференциальное уравнение. Основные определения. Частное и особое решение уравнения.

12. Задача Коши и теорема Коши.

13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

14. Однородные и квазиоднородные уравнения.

15. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.

16. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Уравнения Лагранжа и Клеро.

17. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

18. Уравнения, допускающие понижения порядка.

19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определитель Вронского.

20. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

21. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

22. Метод неопределенных коэффициентов. Уравнение Эйлера.

23. Системы линейных дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений.

24. Числовой ряд и сумма числового ряда.

25. Простейшие свойства числовых рядов и необходимый признак сходимости ряда.

26. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши. Признаки сравнения.

27. Признак Д’ Аламбера и признак Коши.

28. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

29. Функциональные ряды и их равномерная сходимость. Область сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса.

30. Степенные ряды и их свойства. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

31. Ряды Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.

32. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

33. Методы разложения функций в ряд Маклорена. Правила умножения рядов.

34. Применение рядов к раскрытию неопределенностей.

35. Нахождение сумм числовых рядов.