Лекция 6. Алгоритмы адаптивного управления

Лекция 6. Алгоритмы адаптивного управления

Алгоритмы адаптивного управления имеют двухуровневую структуру (как и система адаптивного управления) и совокупность алгоритмов регулирования и адаптации называется алгоритмом адаптивного управления.

Алгоритм первого уровня (алгоритм регулирования) зависит от вектора параметров регулятора и должен обеспечить достижение цели управления при соответствующем выборе этого вектора. Среди точных методов синтеза основного контура наибольшее распространение получили:

- метод инвариантности, реализующий идею выбора идеального управления из равенства правых частей эталонной модели и модели объекта управления;

- метод модального управления, в котором идеальное управление выбирается исходя из желаемых показателей качества переходного процесса;

- оптимальный синтез, в котором решается задача оптимизации по управляющему воздействию некоторого асимптотического (при t → ∞) показателя качества.

В основе приближённых подходов лежат методы декомпозиции, основанные на упрощении модели и синтезе по упрощённой модели. Для упрощения и декомпозиции используются методы теории возмущений, методы скалярных и векторных функций Ляпунова, линеаризации, понижения порядка, отбрасывание возмущений. Популярным является подход, основанный на выделении быстрых и медленных движений системы, при этом синтез осуществляется по модели, описывающей медленные движения. Это методы усреднения и сингулярных возмущений.

Для адаптирующего устройства объектом воздействия является основная система, которая может быть линейной или нелинейной. Введение контура адаптации делает любую систему фактически нелинейной (хотя бы из-за наличия множительных звеньев). Нелинейность адаптивных систем определяет чрезвычайное разнообразие законов адаптации. Если основная система линейная, то можно применять линейные законы адаптации. Применение линейных процедур возможно также в случае, когда изменения настраиваемых при адаптации параметров осуществляется настолько медленно, что их можно принимать за постоянные.

Закон адаптации можно рассматривать как правило (предписание)

R(t) = F(J, x, z, y, u)

в соответствии с которым параметры регулятора основной системы изменяются так, чтобы её поведение отвечало бы заданному показателю (критерию) качества J основной системы.

Если в основу положен квадратичный критерий качества, являющийся характеристикой отклонения переходного процесса от эталонного, то необходимо выбрать соответствующий способ параметрической оптимизации (градиентный, метод восхождения или спуска, линейное или нелинейное программирование и т.д.). В результате сочетания правильно подобранных критериев качества и методов оптимизации могут быть получены законы адаптации, удовлетворяющие самым разнообразным требованиям.

В случае градиентных методов алгоритм изменения настраиваемых параметров строится в направлении антиградиента целевой функции от ошибки рассогласования. Алгоритмы требуют вычисления функции чувствительности, которая зависит от параметров объекта, что противоречит постановке задачи адаптивного управления. Это преодолевается приближённым вычислением функции чувствительности с использованием эталонной модели.

Если в основу положены критерии устойчивости, то для определения закона адаптации могут применяться второй, или прямой, метод Ляпунова и метод абсолютной устойчивости Попова. Большое число алгоритмов этой группы можно получить в рамках схемы скоростного градиента. В методе используется тот факт, что градиент целевой функции близок по направлению с градиентом её приращения по времени. Алгоритм адаптации строится в антиградиентном направлении от скорости изменения целевой функции. Метод обеспечивает существование функции Ляпунова в виде суммы целевой функции и квадрата невязки между настраиваемыми и идеальными параметрами.

Существуют методы, основанные на теории гиперустойчивости. В этом случае синтез контура адаптации осуществляется из условия гиперустойчивости системы с адаптивным регулятором.

Можно применять методы, основанные на организации скользящих режимов. При возникновении скользящего режима система приобретает свойства инвариантности по отношению к параметрическим возмущениям и помехам.

Существует метод, основанный на введении бесконечно большого коэффициента усиления, за счёт которого передаточная функция системы становится эквивалентной передаточной функции эталонной модели. При этом возможна потеря устойчивости и слабая помехозащищённость.

Системы, построенные на основе последних двух групп, называются системами с адаптивными свойствами, так как в них отсутствует контур настройки параметров.

Метод функций Ляпунова

Функция Ляпунова определяется следующим образом. Пусть х₀ – неподвижная точка системы дифференциальных уравнений

т.е. f(x₀,t)≡0. Функцией Ляпунова называется дифференцируемая функция V(x), обладающая следующими свойствами:

- V(x) > 0 при х ≠ 0;

- V(x) = 0 при х = х₀;

- 0 ≥ [dV(x)/dx]f(x,t).

Если функция Ляпунова существует, то неподвижная точка устойчива по Ляпунову. На этой лемме основан один из методов исследования устойчивости (второй метод Ляпунова).

Пусть объект управления описывается уравнением состояния

.

Предполагается, что объект наблюдаем и управляем. Рассмотрим задачу обеспечения объекту управления желаемой динамики с помощью эталонной модели

Здесь Х и Х_М – векторы состояний объекта и эталонной модели; Y – вектор задающих воздействий.

Выбор эталонной модели зависит от требований, предъявляемых к замкнутой системе (времени переходного процесса, перерегулирования, астатизма и т.д.). При этом система должна быть устойчивой, и следовательно, матрица коэффициентов А_М – гурвицева.

Будем считать, что вектор параметров объекта управления (коэффициенты матриц А и В) заранее не определён, но ограничен с помощью максимальных и минимальных значений. Потребуем также, чтобы

где E(t) – ошибка системы.

Вектор управления находим в виде

Тогда структуру основного контура можно представить в виде рис. 1.

x_M

U x - E

Y K_Y

K_X

Рис. 1

Для синтеза алгоритмов настройки матриц коэффициентов К_Х и К_Y необходимо перейти к дифференциальным уравнениям относительно ошибки

где R – расширенная матрица отклонений настраиваемых коэффициентов от их идеальных значений; Ξ – (n+m) вектор, элементы которого являются имеримыми или вычислимыми на основе измерений функциями

.

Алгоритм адаптации выбирается в виде

В этом случае

и функция V обладает свойствами функции Ляпунова. Рассматриваемая система устойчива и тем самым достигается E(t)→ 0 при t → ∞.

Матрица Н = Н^Т это положительно-определённая матрица чисел, удовлетворяющая матричному уравнению Ляпунова

Матрицу Q рекомендуется выбирать диагональной

Если матрица коэффициентов усиления

,

то алгоритм адаптации определяется системой дифференциальных уравнений

Градиентные методы

Сущность градиентных методов состоит в том, что система движется в направлении, обратном мгновенному направлению вектора градиента функции. При этом движение может быть непрерывным или шаговым.

Градиентом grad f называется вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания (убывания) функции f и численно равный скорости изменения функции по направлению нормали

Если функция f = F(х) – функция n переменных и имеет первые частные производные, то вектор

является градиентом функции F(x). Точки, в которых grad F(x) обращается в нуль, называются особыми точками.

Пример. Пусть экстремальный объект имеет характеристику

Найдём направление, в котором эта характеристика уменьшается наибольшим образом, при начальном положении х₁₀ =1, х₂₀ = -1. Переходя к определению такого направления, вычислим

Следовательно,

На рис. 2 стрелкой указано искомое направление.

1 6

х₁

-1

grad F(x)

х₂ -13

Рис. 2

В методе наискорейшего спуска координаты поиска изменяются пропорционально их градиентам, что особенно выгодно при пологих линиях градиента оптимизируемой функции. Большая скорость сходимости является основным преимуществом этого метода и делает его основным при настройке многомерных систем.

Рассмотрим непрерывный градиентный алгоритм идентификации.

Пусть объект и модель описываются уравнениями состояния

где Х, Х_М^,, Х_В , Х_ВМ, R, R_M, Y – векторы состояний, выходов, параметров и входов объекта и модели, соответственно. На систему могут действовать векторы возмущений и помех измерений. Целью идентификации является минимизации целевой функции q(E) невязки

Е = Х_В – Х_ВМ.

Предполагается, что q(E) – выпуклая, положительно определённая функция, а настраиваемая модель – наблюдаемая, так что известны текущие значения .

Настройку параметров модели будем осуществлять в направлении антиградиента целевой функции

где Г = Г^Т>0 – квадратная матрица коэффициентов усиления размерностью (m×m). Градиент целевой функции

Основная трудность в вычислении правой части состоит в нахождении ∂ Х_М/ ∂ R_M.

Алгоритмы скоростного градиента

Практический интерес представляют методы синтеза алгоритмов и систем адаптивного управления, позволяющие для конкретной цели управления с учётом специфики объекта управления осуществлять выбор алгоритмов адаптации из некоторого семейства алгоритмов с последующей проверкой выполнения заранее оговорённых условий для доказательства их работоспособности. К таким методам относится схема скоростного градиента, в основе которой лежит идея настройки параметров в направлении, противоположном скорости изменения целевого функционала вдоль траектории движения объекта управления (алгоритмы оптимальны по критерию обобщённой работы).

В алгоритме скоростного градиента объект описывается уравнением

где Х – вектор состояния, R – вектор настраиваемых коэффициентов регулятора; ξ – вектор неизвестных параметров, от которых зависит поведение объекта (этот вектор обычно состоит из неизвестных коэффициентов математического описания объекта управления и коэффициентов, определяющих состояние среды функционирования объекта управления; считается квазистационарным – постоянным или меняющимся медленнее динамических процессов в системе и изменений внешних воздействий). Очевидно, что вектор параметров R зависит от ξ. Будем предполагать, что вектор-функция F непрерывна по X, R, t и непрерывно дифференцируема по R.

Цель управления задаётся в виде локального или интегрального функционала качества

Алгоритмом скоростного градиента называется правило изменения вектора R, задаваемое уравнением адаптера вида

где Г = Г^Т >0 – матрица коэффициентов усиления;

для локального функционала

для интегрального функционала

ψ(Х, R, t) – некоторая вектор-функция, удовлетворяющая условию псевдоградиентности

Это условие эквивалентно требованию, чтобы угол между векторами функции ψ и градиентом функции ω лежал в пределах от - π/2 до + π/2 и выполняется при

где матрицы, причём матрица Г₂ – диагональная; sign [ ω(∙)] – вектор, состоящий из знаков компонент вектора ω(∙).

Рассмотренный алгоритм скоростного градиента принято называть алгоритмом в конечно-дифференциальной форме. Частными случаями являются алгоритмы в дифференциальной форме

или в конечной форме

где γ > 0 – множитель шага.

Применение схемы скоростного алгоритма предусматривает следующую последовательность действий:

- описание объекта управления математической моделью и формализация цели управления путём выбора подходящей целевой функции локального или интегрального вида;

- выбор структуры и параметров регулятора основного контура;

- выбор алгоритма адаптации и настройка адаптера.

При этом желаемая динамика системы управления задается в виде явной или неявной эталонной модели.

Алгоритм скоростного градиента в системах с явной эталонной моделью

Системы с явной эталонной моделью по способу достижения цели управления можно разделить на системы параметрической, сигнальной и сигнально-параметрической адаптации.

В системах с сигнальной настройкой эффект адаптации достигается без изменения параметров управляющего устройства за счёт повышения коэффициента усиления или на основе создания скользящих режимов. При этом к управляющему воздействию добавляют специальный сигнал – сигнал адаптации. Эти системы достаточно просто реализуются, но обеспечивают требуемое качество управления лишь в ограниченном диапазоне изменения параметров объекта управления.

В системах с параметрической адаптацией цель управления достигается за счёт изменения параметров управляющего устройства. Такие системы более универсальны, но имеют более сложную структуру. Сложность таких систем определяется числом настраиваемых параметров.

С целью повышения точности системы и быстродействия процесса адаптации применяются алгоритмы, сочетающие в себе методы сигнальной и параметрической адаптации. В таких системах алгоритм сигнальной настройки выбирается обычно релейным, обеспечивая в системе высокое быстродействие. Параметрическая часть настройки служит для стабилизации коэффициента усиления в требуемых пределах. Системы с сигнально-параметрической адаптацией обеспечивают достаточно высокую точность и отличаются простотой реализации, так как наличие сигнальной составляющей позволяет уменьшить число перенастраиваемых параметров.

Пусть объект управления и эталонная модель в пространстве состояний описываются векторно-матричными уравнениями

где X, U - векторы состояния и входа объекта управления; А, В – постоянные матрицы неизвестных параметров объекта управления; Х_М - вектор состояния модели; Y – вектор задающих воздействий; А_М,В_М – постоянные матрицы известных параметров модели.

Предполагается управляемость объекта управления, измеряемость вектора состояния и отсутствие не измеряемых возмущений.

В условиях параметрической неопределённости потребуем для замкнутой системы управления достижения цели управления

где Е – вектор ошибок.

Для применения схемы скоростного градиента выберем локальный целевой функционал в форме скалярной квадратичной функции

где Н = Н^Т > 0 – диагональная положительно-определённая матрица.

В соответствии с схемой скоростного градиента находим производную целевого функционала

Структуру основного контура выбираем из условия

уравнение должно быть разрешимо относительно U при любых X, Y из ограниченных множеств этих переменных. Матрица А_М – гурвицева матрица.

При этих условиях существует матрица Н = Н^Т > 0, удовлетворяющая уравнению Ляпунова

Идеальное управление запишем в виде

где матрицы идеальных коэффициентов регулятора удовлетворяют соотношениям

Выберем в качестве настраиваемых параметры регулятора

где операция col() означает составление вектор-столбца из элементов матриц, указанных в скобках.

В данных условиях скоростной градиент имеет вид

Пусть Г = γI_n,γ > 0. Если выбрать алгоритм скоростного градиента в дифференциальной форме, то

С целью повышения быстродействия в контурах параметрической настройки коэффициентов регулятора можно применять пропорционально-интегральные алгоритмы адаптации (конечно-дифференциальная форма)

γ₁ >0.

В этом случае векторы производных должны быть измеряемы.

Существенной особенностью систем с рассмотренным алгоритмом является свойство сохранять работоспособность при изменении координатных и параметрических возмущений в широких пределах. Недостатком является ухудшение качества системы при высокой скорости изменения параметрических возмущений. В этом случае целесообразно применять алгоритмы сигнальной адаптации.

Системы с сигнальной адаптацией

В таких системах рекомендуется выбирать алгоритм скоростного градиента в конечной форме

или в форме

Тогда алгоритм управления принимает вид

Особенность такого управления – отсутствие контура адаптивной подстройки параметров регулятора.

Если в качестве настраиваемых параметров рассматривать непосредственно вход объекта управления (R = U), то алгоритм управления принимает вид

Системы с сигнальной адаптацией рекомендуется применять в случае быстро меняющихся в узком диапазоне параметрических возмущений

объекта управления. При этом возможно возникновение скользящих режимов на поверхности q(E) = 0.

Системы сигнально-параметрической адаптации

Выберем закон управления и вектор настраиваемых параметров в виде

где U_S – сигнальная составляющая управления.

Если Г =diag(γ₁I_mn, γ₂I_m, 0_m) и алгоритм для сигнальной составляющей взят в конечной форме, то адаптивный регулятор описывается уравнениями

где γ > 0. При этом должна выполняться система уравнений

где матрица G – любая гурвицева матрица, удовлетворяющая неравенству Ляпунова, она задает желаемую динамику процесса адаптации, не зависящую от динамики эталонной модели; B⁺ - матрица, псевдообратная к В_М.

В алгоритмах адаптации в системах с явной моделью присутствует матрица В, которая, вообще говоря, неизвестна и при выполнении определённых условий может быть заменена на матрицу В_М.

Алгоритмы скоростного градиента в системах с неявной эталонной моделью

В таких системах эталонная модель выступает в виде некоторого “эталонного уравнения”.

Пусть объект управления описывается уравнением

где Х_В – вектор выхода объекта; L – параметры объекта управления, зависящие от ξ.

Алгоритм адаптации

обеспечивает достижение цели управления

Регулятор основного контура можно выбирать в виде линейной обратной связи по измеряемым выходам объекта

где R – матрица настраиваемых параметров; Q(X_B) – диагональная матрица

- вектор настраиваемых параметров, составленных из столбцов R_i матрицы R.

Локальный целевой функционал запишем в виде

Вычислим

и градиент

В эти уравнения входит вектор не измеряемых переменных Х, поэтому потребуем выполнения дополнительного условия

где G = (G₁,…,G_M) – некоторая матрица со столбцами G_i.

Тогда

Если выбрать алгоритм скоростного градиента в дифференциальной форме, то алгоритм адаптации можно записать в виде

где Г = Г^Т > 0 – матрица, которую можно взять в блочно-диагональной форме. Как и в предыдущих случаях, коэффициенты матрицы G можно выбирать из условия реализации желаемой динамики адаптивной системы.

Для выполнения всех этих уравнений необходимо, чтобы выполнялись матричные алгебраические уравнения

Здесь - матрица желаемых (эталонных) параметров регулятора.