Формула (теорема) Мак-Кулло и ее следствия для Земли

Гравитационный потенциал тела массой , слабо отклоняющегося от сферической симметрии равен

,

где – моменты инерции тела относительно главных осей, – момент инерции относительно оси, направленной из центра масс в точку наблюдения. Это утверждение и есть теорема Мак-Кулло.

Для однородного (и даже неоднородного, но сферически симметричного) шара все моменты инерции равны между собой и .

С достаточно хорошим приближением Земля представляет собой двухосный эллипсоид вращения с полярным моментом инерции и экваториальными моментами инерции .

Если – направляющие косинусы оси OP относительно выбранных осе координат, то с учетом того, что

, и ,

формулу Мак-Кулло нетрудно преобразовать к виду

.

Если обратиться снова к разложению гравитационного потенциала в ряд по сферическим функциям и принять осевую симметрию Земли, то в этом разложении останутся только зональные гармоники:

Сравнивая с тем, что получено по формуле Мак-Кулло, получаем

.

Для , , имеем . Из спутниковых наблюдений (геодезический спутник Lageos)

.