Дробные реплики

Число опытов в полном факторном эксперименте быстро возрастает с ростом числа факторов. Так, при трех факторах имеем 2³=8 опытов, при пяти факторах – 2⁵=32 опыта, а при 8 факторах уже 2⁸=256 опытов. Это вызывает необходимость разработки методов отбора части переменных, наиболее существенно влияющих на параметр оптимизации. Поэтому, хотя полный факторный план 2^К является удобным с точки зрения простоты проведения анализа параметров функции регрессии, тем не менее, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. При трех и более факторах количество опытов можно существенно сократить за счет потери части информации, не очень существенной при построении линейных моделей. Для этого вместо плана 2^К следует использовать дробный факторный план 2^К-Р (2^К-Р≥К+1), который предназначен для реализации 2^К-Р опытов [3, 4].

5.2. Минимизация числа опытов

Для построения дробных планов (реплик) используют матрицы полного факторного эксперимента. Дробные планы создают делением числа опытов полного факторного эксперимента на число, кратное двум. Так получают ½ реплики (полуреплику), ¼ реплики (четвертьреплику) и т.д.

Линейная функция регрессии, зависящая от трех факторов, выглядит так:

(1)

Для оценки четырех коэффициентов , , , требуется провести четыре опыта, а проведение полного факторного эксперимента, состоящего из восьми опытов, позволяет оценить не только общее среднее и главные эффекты , , , но также и всевозможные взаимодействия (первого и второго порядков), т.е. все параметры неполной кубической модели, содержащей восемь коэффициентов:

(2)

Восемь опытов, поставленных для оценки коэффициентов линейной модели (1), будут содержать в два раза больше информации, чем требуется.

Для оценки параметров функции регрессии (1) можно построить план, предназначенный для проведения не восьми, а четырех опытов. Для этой цели факторы х₁ и х₂ следует варьировать, как в плане 2², а в качестве уровня фактора х₃ нужно выбрать значение взаимодействия, т.е. х₃ = х₁х₂. Получим план, определяемый матрицей, приведенной в табл.1.

Таблица 1

№ опыта	Матрица плана
х0	х1	х2	х1х2	у
	+1 +1 +1 +1	+1 -1 +1 -1	+1 +1 -1 -1	+1 -1 -1 +1	у1 у2 у3 у4

5.3. Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты

Рассмотрим вопрос построения дробных реплик более подробно. Вернемся к функции регрессии (2). Матрица плана этой модели приведена в таблице 2.

Рассмотрим эту таблицу более внимательно и обратим внимание, что второй столбец таблицы совпадает с девятым, третий – с восьмым, четвертый – с седьмым, пятый – с шестым. Следовательно, при использовании этого плана нет различий между х₀ и х₁х₂х₃, х₁ и х₂х₃, х₃ и х₁х₂, т.е.

х₀=х₁х₂х₃, х₁=х₂х₃, х₃=х₁х₂ (3)

Таблица 2

№ опыта	Матрица плана
х0	х1	х2	х3	х1 х2	х1 х3	х2 х3	х1 х2 х3
	+1 +1 +1 +1	+1 -1 +1 -1	+1 +1 -1 -1	+1 -1 -1 +1	+1 -1 -1 +1	+1 +1 -1 -1	+1 -1 +1 -1	+1 +1 +1 +1

На этом основании можно утверждать, что вместо отыскания оценок восьми параметров функции регрессии (2) можно найти оценки лишь четырех смешанных коэффициентов:

b₀+b₁₂₃; b₁+b₂₃; b₂+b₁₃; b₃+b₁₂. (4)

При этом главные эффекты, включая общее среднее, оцениваются независимо друг от друга, но смешиваются соответственно с эффектами взаимодействий второго и первого порядка. Если постулируется линейная модель (1), то эффекты взаимодействий считаются незначительными, а смешанные коэффициенты (3) превращаются в параметры модели (1).

Таким образом, полный факторный эксперимент 2³ при постулировании линейной модели можно рассматривать как совокупность двух полуреплик. Представленный в табл.2 план называют полурепликой или планом 2^3-1, полученным из полного факторного плана 2³ путем приравнивания единице произведения х₁ х₂ х₃, т.е.

х₁ х₂ х₃ =1 (5)

Это соотношение называется определяющим для заданной полуреплики. Другая полуреплика 2^3-1 получится из определяющего соотношения х₁ х₂ х₃ = -1, т.е. если уровни фактора х₃ устанавливать в соответствии с равенством х₃=-х₁х₂.

При построении полуреплики 2^3-1 существует всего две возможности: приравнять х₃ к +х₁х₂, или к -х₁х₂. Поэтому есть только две полуреплики 2^3-1 (табл.3).

Таблица 3

I. х₃=х₁х₂ II. х₃=-х₁х₂

№№ опытов	х1	х2	х3	х1 х2 х3	№№ опытов	х1	х2	х3	х1 х2 х3
	+ - + -	+ - - +	+ + - -	+ + + +		+ - + -	+ - - +	- - + +	- - - -

Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение: +1= х₁х₂х₃, а матрицы II: -1 = х₁х₂х₃. Отсюда видно, что все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны +1, а во втором -1.

Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или -1, называется определяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Для того, чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если +1= х₁х₂х₃, то для х₁ имеем х₁=х₁²х₂х₃=х₂х₃, так как всегда х_i² =1. Для х₂ находим х₂=х₁х₂²х₃= =х₁х₃, для х ₃ будет х₃=х₁х₂х₃²=х₁х₂.

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками

b₁→β₁+β₂₃, b₂→β₂+β₁₃, b₃→β₃+β₁₂.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением. Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы обозначают 2_III^3-1.

Выводы

Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей. Целесообразность их применения возрастает с ростом количества факторов. Так, при исследовании влияния трех факторов можно сократить в два раза число опытов, применяя реплику дробности (четыре опыта вместо восьми). Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий. Априорные сведения о взаимодействиях могут оказать большую услугу экспериментатору.

При построении дробных реплик используют следующее правило: для того, чтобы сократить число опытов, вводя в планирование новый фактор, нужно поместить этот фактор в вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Реплики, которые используются для сокращения опытов в 2^m раз, где m=1, 2, 3, 4,..., называются регулярными. Они пользуются большой популярностью, так как позволяют производить расчет коэффициентов уравнения так же просто, как и в случае полного факторного эксперимента.

При применении дробных реплик линейные эффекты смешиваются с эффектами взаимодействий. Чтобы определить систему смешивания, необходимо знать определяющие контрасты и генерирующие соотношения. Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения любых столбцов, равных ±1.

Чтобы определить, какие взаимодействия смешаны с данным линейным эффектом, нужно умножить определяющий контраст на этот линейный эффект и получить генерирующие соотношения. Например, если имеются следующие генерирующие соотношения: х₁=х₂х₃, х₂=х₁х₃, х₃=х₁х₂, то определяющий контраст будет 1= х₁х₂х₃.

Эффективность реплики зависит от системы смешивания. Реплики, у которых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка, являются наиболее эффективными, так как обладают наибольшей разрешающей способностью. Для освобождения линейных эффектов от взаимодействий первого порядка можно использовать метод «перевала». Смысл метода в добавлении новой реплики, все знаки которой противоположны исходной реплике. С ростом числа факторов быстро увеличивается число реплик различной дробности. Эти реплики характеризуются обобщающими определяющими контрастами, которые получаются перемножением по два, по три и т.д. исходных определяющих контрастов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Для чего необходимо использование дробных реплик?

2. Как выполняется минимизация числа опытов?

3. Дайте определение генерирующим соотношениям и определяющим контрастам.

Список литературы

1. Горев В.В. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций. – М.: Высшая школа, 2002. – 206 с.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1965.- 283 с.

Содержание

Общие сведения...............................................................................................
1. Тема 1.Параметр оптимизации......................................................................
2. Тема 2. Факторы..............................................................................................
3. Тема 3. Выбор математической модели.......................................................
4. Тема 4. Полный факторный эксперимент.....................................................
5. Тема 5. Дробный факторный эксперимент................................................
Список литературы.............................................................................................