Перевод десятичных чисел в недесятичные

1. Перевод целых чисел (целой части числа).

Осуществляется по правилу деления:

Десятичное целое число делиться нацело на основание СЧ q с фиксацией остатка. Затем последовательно частные аналогично делятся с фиксацией остатков. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки, записанные в обратном порядке (с последнего до первого) представляют число в новой СЧ. Для 16-й СЧ необходимо перед записью заменить остатки от 10 до 15 на их буквенные эквиваленты A,…, F. Числа от 0 до 15 можно переводить с использованием таблицы (или по памяти) не прибегая к делению.

Пример. Перевод числа 795

В двоичную в столбик

795| 2

-794 | 397 | 2

1 |-396| 198 | 2

1 |- 198| 99 | 2

0 | -98 | 49| 2

1 | -48 | 24| 2

1 | -24 | 12| 2

0 | - 12 | 6 | 2

0 | -6 | 3 | 2

0 | -2 | 1 | 2

1 | -0 | 0

Записываем остатки в обратном порядке и проверяем

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

795 = 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1₂ = 512+256+16+8+2+1=795 (верно!).

В строчку

795:2=397 | 1

397:2=198 | 1

198:2= 99 | 0

99:2= 49 | 1

49:2= 24 | 1

24:2= 12 | 0

12:2= 6 | 0

6:2= 3 | 0

3:2= 1 | 1

1:2= 0 | 1

Правило образования остатка. Усли делимое нечетное, то остаток 1.

Если четное, то 0.

Записываем остатки снизу-вверх

795 = 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1₂ = 512+256+16+8+2+1=795 (верно!).

Учитывая, что запись в строчку компактнее, деление в столбик применять не будем.

В восьмеричную в строчку

795:8=99 | 3

99:8=12 | 3

12:8= 1 | 4

1:8= 0 | 1

512 64 8 1

795=1433₈= 1·512+4·64+3·8+3·1= 512+256+24+3=795

В 16-ю в строчку

795:16=49 | 11 (B)

49:16= 3 | 1

3:16 = 0 | 3
256 16 1

795=31B₁₆ = 3·256+1·16+11=768+16+11=795 (верно!).

Десятичные в двоичные можно перевести двойным переводом. Вначале перевести в восьмеричную или 16-ю. А потом заменить цифры из таблицы (или по памяти).

Пример

1 4 3 3

795=1433₈=1|100|011|011

3 1 B (11)

795=31B₁₆ =11|0001|1011

2. Перевод дробных чисел (дробной части числа).

Первый способ

По правилу умножения на основание СЧ:

Десятичная дробь множиться на основание СЧ q с фиксацией целой части произведения. Затем дробная часть произведения аналогично множиться с фиксацией целой части произведения, и. т.д. Умножение продолжается столько раз, сколько цифр после запятой надо получить. Целые части произведений, записанные после запятой в порядке получения, представляют дробное число в новой СЧ. Для 16-й СЧ необходимо перед записью заменить целые части произведений от 10 до 15 на их буквенные эквиваленты A,…, F. Чтобы повысить точность представления дроби можно получить на одну цифру больше чем требуется и округлить дробь, т.е. добавить к предыдущей цифре 1, если дополнительная цифра больше либо равна q.

Пример

Перевести 0,15637 в двоичное с 8-ю цифрами после запятой

1) 0,15637·2= 0,31274

2) 0,31274·2= 0,62548

3) 0,62548·2= 1,25096

4) 0,25096·2= 0,50192

5) 0,50192·2= 1,00384

6) 0,00384·2= 0,00768

7) 0,00768·2= 0,01536

8) 0,01536·2= 0,03072

9) 0,03072·2= 0,06144

Получили 0,15637 =,001010000₂=,00101₂

16 8 4 2 1

Проверяем,00101₂ =, (4+1)/2⁵=5/32=0,15625 ≈0,15637 (верно!)

Второй способ

По правилу умножения на основание СЧ в степени числа цифр после запятой:

Десятичная дробь множиться на q^f (f -требуемое число цифр после запятой). Затем произведение округляется до ближайшего целого (или не округляется, т.е. берется целая часть). Полученное целое число переводится в q-ичное и размещается в записи после запятой начиная с f –й позиции.

Пример

Перевести 0,15637 в двоичное с 8-ю цифрами после запятой

0,15637·2⁸ = 40 = 101000₂

0,15637=,00101000₂=,00101₂ (совпадает с предыдущим способом)

Второй способ не проще. Просто он может быть реализован на калькуляторе программиста.

Пример из ЛР 2

N_ж = 31

Х= N_ж /70=0,4429 (4 цифры после запятой)

Перевод способом умножения на основание

0,4429·2= 0,8858

0,8858·2= 1,7716

0,7716·2= 1,5432

0,5432·2= 1,0864

0,0864·2= 0,1728

0,1728·2= 0,3456

0,3456·2= 0,6912

0,6912·2= 1,3824

0,3824·2= 0,7648

0,7648·2= 1,5296

0,5296·2= 1,0592

0,0592·2= 0,1184

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0,4429=,011100010110₂ =, (1024+512+256+16+4+2)/4096=0,442971≈0,4429

Пользуемся весами разрядов

i

2i

Вторым способом

0,4429·2¹²= 1814 = 11100010110₂

0,4429=,011100010110₂ (совпадает с первым способом).