Глава 6. Критика методологии современной теоретической физики

Гармонические колебания часто удобно представить в виде векторной диаграммы (рис.19.1а). Возьмем вектор, модуль которого равен А; вектор расположен под углом a к оси х. Представим, что этот вектор вращается вокруг оси, проходящей через точку “О” с угловой скоростью . За время t он повернется на угол .

Угол j между вектором и осью х будет определяться соотношением:

,

а проекция вектора на ось х будет равна:

Таким образом, проекция вектора А на ось х совершает гармоническое колебание.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещения и , уравнения которых имеют вид:

(19.1)

Представим оба колебания в виде векторной диаграммы (рис19.1б). Очевидно, результирующий вектор будет тоже вращаться с угловой скоростью , а его проекция х равна:

Следовательно, результирующее колебание тоже гармоническое и имеет частоту , амплитуда этого колебания равна модулю вектора , а начальная фаза - a (рис.19.1б):

Найдем амплитуду А и начальную фазу a. Из рис 19.1б видно

(19.2)

(19.3)

§ 20. Маятники. Пружинный, физический,
математический маятники

Пружинный маятник - это твердое тело, соединенное с пружиной и совершающее колебания в результате действия силы упругости. Очевидно, что действие силы упругости аналогично действию квазиупругой силы, рассмотренной в § 17. Следовательно, пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой , равной (уравнение (17.5)):

(20.1)

Физический маятник - это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести (рис.20.1). В положении равновесия линия, соединяющая ось вращения и центр тяжести, расположена вертикально. При колебаниях эта линия будет отклоняться от положения равновесия на некоторый угол j.

При этом возникает момент силы, который стремиться вернуть маятник в положение равновесия.

,

где m - масса маятника, d - плечо силы, l - расстояние от оси до центра тяжести (точка “с”). Таким образом:

(20.2)

Знак “-” связан с тем, что отклонение маятника происходит в одну сторону (на рис. “против часовой стрелки”), а момент силы вращает в противоположную сторону (на рис. “по часовой стрелке”).

Запишем закон динамики вращательного движения

Для малых углов отклонения (j < 0,1 рад.), т.е. для малых колебаний , следовательно:

Обозначим , (20.3)

тогда , (20.4)

т.е. получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Следовательно, маятник совершает гармонические колебания

,

( - амплитуда колебаний) с циклической частотой и периодом Т равным:

(20.5)

Математический маятник представляет собой невесомую и нерастяжимую нить, на которой подвешена материальная точка. Его можно рассматривать как частный случай физического маятника. Для материальной точки

,

где в случае математического маятника - длина нити. Следовательно, для такого маятника получим:

(20.6).

§ 21. Затухающие колебания.
Логарифмический декремент затухания

Рассмотрим колебания, при которых кроме квазиупругой силы F_уп, действует и сила трения F_тр (сопротивления). Во многих, практически важных случаях, действует сила вязкого трения, которая при небольших скоростях колебаний равна (§ 5):

где r - коэффициент сопротивления. Для одномерного колебания вдоль оси “х”, проекция второго закона Ньютона на эту ось будет иметь следующий вид:

Обозначим:

, (21.1)

где b - называется коэффициентом затухания. Тогда

(21.2)

Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение затухающихколебаний. В этом уравнении - циклическая частота, которую имела бы система в отсутствии сил трения. Ее называют собственной частотой.

Решение полученного уравнения необходимо рассмотреть для двух случаев.

1.

Прямой подстановкой можно убедиться, что в этом случае решение имеет вид:

, (21.3)

, (21.4)

Глава 6. Критика методологии современной теоретической физики