Свойства функций, непрерывных на отрезке

Приведем без доказательств некоторые свойства непрерывных функций.

Теорема 1. 1-я теорема Больцано-Коши (о нуле непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ] и на концах его имеет значения, противоположные по знаку, то f (x) обращается в нуль по крайней мере в одной точке интервала (a, b).

Геометрически результат теоремы очевиден (рис. 8). Если f (a) f (b) < 0, то точки А (a, f (a)) и В (b, f (b)) лежат в разных полуплоскостях относительно оси ОХ. График непрерыной функции f (x), соединяющей эти точки, обязательно пересечет ось ОХ по крайней мере в одной точке.

Рис.8.

Требование непрерывности f (x) на отрезке [ а, b ] является необходимым: функция, имеющая разрыв хотя бы в одной точке, может перейти от отрицательного значения к положительному и не обращаясь в нуль. Так будет, например, с функцией

Теорема 2. 2-я теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ], причем на концах его имеет значения f (a) = А, f (b) = B. Тогда, каким бы ни было число С, заключенное между А и В, на отрезке [ а, b ] найдется по крайней мере одна точка с такая, что f (с) = С.

Справедливость теоремы геометрически очевидна (рис. 9). Поскольку функция непрерывна, график состоит из одного куска. Эта кривая соединяет точки (а, А) и (b, В), одна из которых лежит ниже прямой у = С, а другая — выше ее. Поэтому кривая где-то должна пересекать прямую у = С. Значит, существует, по крайней мере, одно с, для которого а < с < b и f (с) = С.

Рис.9

Эти теоремы 1 и 2 устанавливают, что, переходя от одного своего значения к другому, функция хотя бы один раз принимает каждое свое значение между ее значениями на концах отрезка.

Теорема 3. 1-я теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ], то она ограничена на этом отрезке сверху и снизу, т.е. существуют такие числа m и M, что для всех х є [ а, b ] справедливо неравенство m ≤ f (x) ≤ М.

Функция называется ограниченной на отрезке [ а, b ], если существует такое число М, что для всех х є [ а, b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ М.

Замечание. Если f (x) непрерывна на интервале (а, b), то она необязательно ограничена на нем.

Например, функция непрерывна на полуинтервале (0, 1], но не ограничена на нем.

Теорема 4. 2-я теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на отрезке функции своих верхней и нижней граней). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М.

Иными словами, найдутся такие точки х ₁ и х ₂, что значения f (x) в этих точках будут наименьшим и наибольшим из всех возможных её значений на отрезке [ а, b ] (рис. 10).

Рис.10

Замечание. Среди значений, которые принимает функция f (x) в точках незамкнутого промежутка, может не быть наибольшего или наименьшего значения.

Например, в интервале (1, 3) функция у = х не обладает ни наименьшим значением, ни наибольшим (она могла бы принять эти значения на концах х = 1 и х = 3, но из открытого промежутка концы исключены).