Системи числення

Система числення – (number system) це сукупність прийомів та правил найменування та позначення чисел, за допомогою яких можна встановити взаємно однозначну відповідність між будь-яким числом і його представленням у вигляді сукупності кінцевого ряду числових символів.

Основними типами даних, які зустрічаються при обробці інформації в ЕОМ є числа, які представлені в двійковій системі числення, а також алфавітно-цифрові символи. Для кодування символів використовуються спеціальні коди, найбільш розповсюдженими з яких є семи- та восьмибітові двійкові коди, наприклад, ASCII коди (американський стандартний код для передавання інформації).

Тип системи числення визначається по її основі. На рис. 1.1 наведено класифікацію систем числення.

До непозиційних систем числення належать:

1) римська;

2) унітарна;

3) система залишкових класів.

У римській системі числення використовують такі цифри: I = 1, V = 5, Х = 10, L = 50, С = 100, D = 500, M = 1000. У цій системі число 2001 записують як ММІ. В унітарній системі число подають загальною сукупністю однорідних об'єктів. У системі залишкових класів числа подають остачами від ділення на прості числа. У цій системі всі операції можна проводити окремо для цифр кожного розряду.

До позиційних систем числення відносять системи, в яких кожна цифра займає певне положення (розряд або позицію) у ряду цифр, що зобра­жують число. Щоб одержати значення числа, потрібно кожну цифру роз­ряду помножити на число, яке називається вагою розряду. Ваги окремих розрядів являють собою геометричну прогресію зі знаменником, що дорів­нює основі системи числення р. Наприклад, розряди десяткового числа 1327,45 мають ваги: 10³ = 1000; 10² = 100; 10¹ = 10; 10⁰ = 1; 10^–1' = 0,1; 10^–2 = 0,01. Позиційні системи числення, в яких цифри всіх розрядів набувають значень 0,1,..., p – 1, а основа р є однаковою для всіх розрядів, називаються однорідними. Подання цілого числа X в однорідній позиційній системі числення з основою р має вигляд:

X = ⁽ⁱ⁾p^{n – 1} = x⁽¹⁾p^{n – 1} + x⁽²⁾p^{n – 2} + … + x⁽ⁿ⁾p⁰.

Основою системи числення є цілі позитивні числа 2, 8, 16 або будь-які похідні від них. Відповідно і системи числення є двійкові, восьмирічні, шістнадцятирічні і т. ін.

Для будь-якої системи числення з основою b величина числа виражається як

(N_b)_P = (P_nP_n–1... P₁P₀, P_–1P_–2...),

де P_i – позиційна цифра – ціле число 0 £ P_i £ b – 1, i =...–2,–1,0,1,2,...,n.

Значимість позиційної цифри (P_i) визначається числом P_i, помноженим на позиційну вагу.

Вага визначається так:

... b³ b² b¹ b⁰, b^–1 b^–2...

Наприклад, в десятковій системі числення число 237,58 представлено як

2×10² + 3×10¹ + 7×10⁰ + 5×10^–1 + 8×10^–2.

Десяткова система або система з основою 10 (р = 10) оперує з 10 цифрами (від 0 до 9). У системах числення з основою більше 10 використовують десять цифр для молодших значень цифр розрядів і латинські літери А, В, С...– для старших.

Якщо необхідно позначити основу системи числення, то використовують числові індекси або латинські літери: для двійкового числа індекс 2 або літера В (Binary), для десяткового – індекс 10 або літера D (Decimal), для шістнадцяткового – індекс 16 або літера Н (Hexadecimal).

Символ “,” називається комою (точкою) системи числення. Частина числа, що розміщена зліва від цього символу зветься цілою частиною числа, справа – дробовою частиною.

ЕОМ може бути побудована на будь-якій системі числення. Проте всі сучасні системи побудовані на двійковій системі, виходячи з переваг технічної реалізації системи. Дійсно, значно легше розрізнювати два стани, ніж десять.

Основою двійкової системи є цифра 2. Кома системи числення, таким чином, буде двійковою комою. В системі можливі тільки дві цифри 0 та 1.

Вага розрядів зліва направо має послідовність, яка називається таблицею ваги:

2³ 2² 2¹ 2⁰, 2^–1 2^–2 2^–3...

Ця таблиця використовується для переводу двійкових чисел в більш звичну десятичну систему. Наприклад, десятичний еквівалент двійкового числа 1010 переводиться так, як приведено на рис. 1.2.

Існують спеціальні терміни, що широко використовуються в обчислювальній техніці “біт”, “байт”, “слово”.

Біт (bit) – (двійковий знак) – один з двох знаків “0” або ”1”, що використовується в обчислювальній техніці для внутрішньомашинного представлення чисел, знаків і команд. Біт – найменша “порція” інформації або пам`яті в будь-якій двійковій системі. Це також двійковий розряд. Крайній зліва розряд називають старшим (має найбільшу вагу), справа – молодшим (має найменшу вагу).

Рис. 1.2. Перевід двійкового числа за таблицею ваги

Байт – (byte) – частина машинного слова з восьми бітів.

Слово – (machine word, computer word) – вектор бітів, що розпізнається апаратною частиною ЕОМ як єдине ціле. Це інформація, що зберігається в одному регістрі, або осередку пам`яті.

При представленні десяткового числа в двійкове ціла та дробова частини числа переводяться в двійковий еквівалент окремо. Повне представлення числа здійснюється шляхом об`єднання обох частин і вказування місця для коми. Для переводу десяткового числа в двійкове використовуються методи віднімання, ділення та множення.

Метод віднімання заключається в тому (рис. 1.3, 1.4), що від числа віднімається число, яке є найбільш можливим ступенем числа два, і запису одиниці у відповідний розряд числа, що формується.

Рис. 1.3. Метод віднімання (ціле число)

Таким чином (62)₁₀ = (111110)₂

Рис. 1.4. Метод віднімання (дробове число)

Ця процедура повторюється поки десяткове число не зменшиться до нуля. Якщо після попереднього віднімання наступного ступеня від числа двійка не віднімається, то записуємо 0 (нуль).

Метод ділення. Для переводу цілої частини десяткового числа в двійковий еквівалент використовуємо ділення на два, при цьому, якщо при діленні є залишок, пишемо 1, якщо немає – пишемо 0. Продовжуємо цей процес, поки в залишку не залишиться 0 (нуль). В цьому разі перетворення десяткового числа має вигляд, який приведено на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Метод ділення

Метод множення заключається в послідовному множенні на два і використовується при перетворенні десяткового дробового числа в двійковий еквівалент (рис. 1.6).

При цьому, якщо перший результат менше одиниці, то старший двійковий розряд еквівалента є нулем, якщо більший – одиницею. Процедура повторюється до досягнення потрібної точності.

Рис. 1.6. Метод множення

Процедуру переводу дрібної частини числа із одної системи числення в іншу ще можна проводити шляхом перемноження чисел в стовпчик (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Метод множення в стовпчик

Найчастіше часто зустрічаються системи обчислення, що мають основу 2, 8, 10 і 16.

Переведення чисел з однієї системи обчислення в іншу. При переведенні цілого числа (цілої частини числа) з однієї системи обчислення в іншу вихідне число (чи цілу частину) треба розділити на основу системи обчислення, у яку виконується переведення. Розподіл виконувати, поки частка не стане менше основи нової системи обчислення. Результат переведення визначається залишками від ділення: перший залишок дає молодшу цифру результуючого числа, остання частка від ділення дає старшу цифру.

При переведенні правильного дробу з однієї системи обчислення в іншу дріб потрібно помножити на основу системи обчислення, у яку виконується переведення. Отримана після першого множення ціла частина є старшим розрядом результуючого числа. Множення проводити доти, поки добуток стане рівним нулю чи буде отримане необхідне число знаків після розділової точки.

Наприклад,

1) Перевести дробове число 0.243 з десяткової системи обчислення в двійкову.

0.243₁₀ = 0.0011111₂.

Перевірка:

0.0011111 = 0*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 + 1*2^-4 + 1*2^-5 + 1*2^-6 + + 1*2^-7 = 0,2421875

2) Перевести ціле число 164 з десяткової системи обчислення в двійкову.

164₁₀ = 10100100₂

Перевірка:

10100100=1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ =

=128 + 32 + 4 = 164

При переведенні змішаних чисел ціла і дробова частини числа переводяться окремо.