Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Даны координаты вершин пирамиды A₁, A₂, A₃, A₄ . Найти: а) длину ребра А₁А₂; б) площадь грани А₁А₂А₃; в) объём пирамиды; г) уравнение плоскости А₁А₂А₃; д) угол между ребром A₁A₄ и гранью А₁А₂А₃; е) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

1. A₁(4, 2, 5), A₂(0, 7, 2), A₃(0, 2, 7), A₄(1, 5, 0).

2. A₁(4, 4, 10), A₂(4, 10, 2), A₃(2, 8, 4), A₄(9, 6, 4).

3. A₁(4, 6, 5), A₂(6, 9, 4), A₃(2, 10, 10), A₄(7, 5, 9).

4. A₁(3, 5, 4), A₂(8, 7, 4), A₃(5, 10, 4), A₄(4, 7, 8).

5. A₁(10, 6, 6), A₂(-2, 8, 2), A₃(6, 8, 9), A₄(7, 10, 3).

6. A₁(1, 8, 2), A₂(5, 2, 6), A₃(5, 7, 4), A₄(4, 10, 9).

7. A₁(6, 6, 5), A₂(4, 9, 5), A₃(4, 6, 11), A₄(6, 9, 3).

8. A₁(7, 2, 2), A₂(5, 7, 7), A₃(5, 3, 1), A₄(2, 3, 7).

9. A₁(8, 6, 4), A₂(10, 5, 5), A₃(5, 6, 8), A₄(8, 10, 7).

10. A₁(7, 7, 3), A₂(6, 5, 8), A₃(3, 5, 8), A₄(8, 4, 1).

3. «Векторная алгебра»

Вариант 1

1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А, В, С.

А(3, 4, 1) В(2, -1,0) С(3, -2, 1)

Определить острый угол между диагоналями параллелограмма.

2. Найти площадь S треугольника АВС,

зная координаты вершин А(2,1,-1)

В(-3,-1,0) и радиус-вектор ОС = 3j + i.

3. Найти V пирамиды, построенной на векторах а = (1,1,1), b = (2,1,1), с = (-3,-1,0)

Вариант 2

1. Найти угол между векторами

а = 2АВ + ВА, b = АВ +ВС, зная точки

А(2,1,3) В(0,1,-2) и радиус-вектор

ОС = 6к +2i.

2. Найти площадь параллелограмма ОАВС, зная координаты вершин

О(0,0,0) А(3,1,1) В(1,-2,2) С(4, 3,1)

3. Известно, что смешанное произведение ОАОВОС равно 6. Координаты О(0,0,0) В(4,3,1) С(-2,0,3).Найти координаты точки А (х, 2, 0).

Вариант 3

1. Какой угол α образует вектор

а = 3j – 2i + k c осью аппликат?

2. Вычислить вектор

с = (2а +b)×(a +2b).

3. Четыре точки А(7,0,3) В(3,0,-1)

С(3,0,5) D(4,3,-2) есть вершины тетраэдра. Вычислить его объем и высоту, опущенную из вершины D.

Вариант 4

1.По данным чертежа определить острый угол между векторами АВ и CD

2. Вычислить высоту ромба, построенного на векторах а = 2i +3j+к

b = 2j +3i.

3. Лежат ли четыре точки M(2,1,3), N(0,0,0), P(1,1,-1), Q(0,3,1) в одной плоскости?

Вариант 5

1. Какой угол образует вектор

с = -3i+6k-4j с осью абсцисс?

2. Упростить выражение для вектора

с = (а +2b)×(a - 3b).

3. Найти объем пирамиды, построенной на векторах а = (2,3,4) b =(2,1,5) c=(0,0,1) и площадь грани, построенной на b и с.

Вариант 6

1. Какой угол образует вектор

v = -3j+4k+2i с осью ординат?

2. Найти площадь S треугольника АВС,

зная координаты вершин С(4,-1,1)

В(-2,1,1)и радиус-вектор ОА = 2j + k.

3. На точку А(2,3,4) действуют 3 силы с концами в точках В(1,2,1), С(1,-1,0),

D(2,1,4). Будут ли эти силы компланарными?

Вариант 7

1. Вектор а =3АВ +2ВА, b = AB – BC,

где А(2,1,3), В(4,-2,1), С(0,3,-5). Найти скалярное произведение векторов a∙b

2. Вычислить высоту параллелограмма, построенного на векторах а = i +3j -к

b = -j +4i.

3. Известно, что смешанное произведение ОАОВОС равно 8. Координаты О(0,0,0) В(-3,2,1) С(1,-1,3).Найти координаты точки А (-1, 0, z).

Вариант 8

1.Известно, что скалярное произведение a∙b =3. Координаты а=(-5,2,-1). Найти координату вектора b = (6,у,-2).

2. Найти площадь S треугольника АВС,

зная координаты вершин А(-3,-2,2)

С(8,1,0) и радиус-вектор ОВ = 3j + i-к

3. Четыре точки А(-2,-3,3) В(4,-1,-1)

С(-2,1,5) D(-1,-3,0) есть вершины тетраэдра. Вычислить его объем и высоту, опущенную из вершины А.

4. «Прямая на плоскости»

1. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-1;0) – точка пересечения его диагоналей.

2. Даны уравнения одной из сторон ромба 2x+y–5=0и одной из его диагоналейy–1=0. Диагонали ромба пересекаются в точке (3;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.

3. Уравнения двух сторон параллелограмма x+2y+2=0 и x+y=0, а уравнение одной из его диагоналей x+2=0. Найти координаты вершин параллелограмма.

4. Даны две вершины A(-3, 3)и B(5, -1)и точка D(4, 3)пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

5. Даны вершины A(1, 1), B(2, 3), C(4, 1)трапеции ABCD (ADúú BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции.

6. Даны уравнения двух сторон треугольника 5x–4y+15=0 и 4x+y–9=0. Его медианы пересекаются в точке (0, 2). Составить уравнение третьей стороны треугольника.

7. Даны две вершины A(2;-2), B(3;-1)и точка P(1;0)пересечения медиан треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину C.

8. Даны уравнения двух высот треугольника x–2y+1=0, y–1=0 и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.

9. Даны уравнения двух медиан треугольника x–2y+1=0, y–1=0 и одна из его вершин (1;3). Составить уравнения его сторон.

10. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0, 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны.