Декартова система координат

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

График 1.2.1.1.

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

График 1.2.1.2.

Координаты точки в декартовой системе координат. Важно отметить, что порядок записи координат существенен; так, например, точки A (–3; 2) и B (2; –3) – это две совершенно различные точки.

Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае – плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2) или B (x ₀; y ₀). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; –6).

Рисунок 1.2.1.1.

Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту.

В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.

Модель 1.5. Расстояние между городами.

В конце этого параграфа приведем некоторые очевидные формулы.

• Расстояние от точки A (x ₀; y ₀) до оси OX равно | y ₀ |.
• Расстояние от точки A (x ₀; y ₀) до оси OY равно | x ₀ |.
• Расстояние от точки до начала координат равно
• Расстояние | AB | между точками A (x ₁; y ₁) и B (x ₂; y ₂) равно
• Точка M, которая является серединой отрезка AB, где A (x ₁; y ₁) и B (x ₂; y ₂), имеет координаты

График 1.2.1.3.

На случай трехмерного пространства эти формулы обобщаются следующим образом:

• Расстояние от точки A (x; y; z) до плоскости OYZ равно | x |.
• Расстояние от точки A (x; y; z) до начала координат равно
• Расстояние | AB | между точками A (x ₁; y ₁; z ₁) и B (x ₂; y ₂; z ₂) равно
• Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, где A (x ₁; y ₁; z ₁) и B (x ₂; y ₂; z ₂) равны

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей.

· Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° еe положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами

· Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x ₀ и y ₀.
Координата x ₀ называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A.

· Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату.
Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату.
Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату.
Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

·

· Расстояние между двумя точками: BC= (x1−x2)2+(y1−y2)2

· Координаты середины отрезка BC: x=2x1+x2 y=2y1+y2

· Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении: если DBCD=k2k1, то
x=k2k1+k2 x1+k1k1+k2 x2,
y=k2k1+k2 y1+k1k1+k2 y2

· Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: (y - y ₁)(x ₂ - x ₁) = (x - x ₁)(y ₂ - y ₁).
Если x1 =x2 y1 =y2, то это уравнение можно записать в виде
y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

· Уравнение окружности с центром в начале координат: x ² + y ² = R ²

· Уравнение окружности с центром в точке (x ₀; y ₀₎ : (x - x ₀)² + (y - y ₀)² = R ²