Дәріс сабағы. Кеңістіктегі түзу мен жазықтық

Кеңістіктегі жазықтық. теңдеуі кеңістігінде қандай-да бір бетті анықтайды.Кез келген жазықтық 1-нші ретті бетке жатады. Ол мынандай түрдегі теңдеулермен беріледі:

1. Бір нүктеден өтіп берілген векторға перпендикуляр болатын жазықтық теңдеуі: . Жазықтыққа перпендикуляр векторды нормаль вектор деп атайды және оны деп белгілейді (1-сурет).

2. Жазықтықтың жалпы теңдеуі: , мұндағы А, В, С - коэффициенттерінің ең болмағанда біреуі нөлге тең емес және , .

3. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі:

Кеңістікте жатқан кез келген нүкте іздестіріп отырған жазықтықта жатуы үшін , , -векторларының компланарлығы қажетті әрі жеткілікті: . Бұл көбейтіндіні координаттық түрде жазсақ, жоғарыдағы теңдеуді аламыз.

4. Жазықтықтың кесінді теңдеуі: , мұндағы , олар сәйкес өстерінің бойынан жазықтықтың қиятын кесінділерінің ұзындықтары.

5. Жазықтықтың нормаль теңдеуі: , мұндағы - координат бас нүктесінен жазықтыққа түсірілген перпендикулярмен бағыттас бірлік вектордың координаттары: , р -осы перпендикулярдың ұзындығы.

Жазықтықтың жалпы теңдеуін нормаль түрдегі теңдеуге келтіру үшін оны нормаль көбейткішке көбейтеміз: . Осы -санының таңбасы -коэффициентінің таңбасына қарама-қарсы алынады.

Екі жазықтық арасындағы бұрыш деп олар құрайтын екіжақты бұрыштардың біреуін айтады. Жазықтықтардың нормаль векторларының арасындағы бұрыш осы сыбайлас екіжақты бұрыштардың біреуіне тең болады.

а) Екі жазықтықтың параллельдік белгісі:

б) Екі жазықтық перпендикулярлық белгісі:

.

Берілген нүктеден жазықтығына дейінгі арақашықтық мына формуламен табылады: .

1-сурет 2-сурет

Кеңістіктегі түзу. Кеңістіктегі түзудің әртүрлі теңдеулері.

1) Түзудің векторлық-параметрлік теңдеуі: , мұндағы - радиус-векторлар, - бағыттауыш векторы, -параметр (2-сурет).

2) , бұл теңдіктер түзудің параметрлік теңдеуі деп аталады.

3) теңдеуді кеңістіктегі кез келген нүктеден өтіп бағыттауыш векторымен берілген түзудің ықшам (канонды) теңдеуі деп атайды.

4) түзуі нүктелері арқылы өтетін болсын. деп алсақ, екі нүктеден өтетін түзу теңдеуін табамыз: (2-сурет).

5) Кеңістіктегі түзуді екі жазықтықтың қиылысу сызығы ретінде қарастыруға болады және оны түзудің жалпы теңдеуі дейді:

, мұндағы .

Түзудің жалпы теңдеуінен ықшам теңдеуін алу үшін түзу бойынан қандай да бір нүктесін табу керек, координаттардың біреуіне кез келген мән бере отырып (мысалы, ), оны жүйенің шешімі ретінде анықтаймыз. Ал түзуі векторларына перпендикуляр болғандықтан, - бағыттауыш векторы векторларының векторлық көбейтіндісі ретінде анықталады:

.

Ескерту. Екі нүктені жүйеден тауып, (4) формуланы пайдаланып жалпы теңдеуден ықшам теңдеуді оңай табуға болады.

Екі түзу арасындағы бұрыш ретінде олардың бағыттауыш векторларының арасындағы сыбайлас бұрыштардың біреуі алынады: .

Ендеше, .

Перпендикулярлық белгісі: .

Параллельдік белгісі: (коллинеар) .

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. Кеңістікте түзуден тыс жатқан нүктесінен осы түзуге дейінгі қашықтық деп, нүктесінен түзуіне түсірілген перпендикулярдың ұзындығын айтады. : , , . . , яғни қашықтық - векторлары арқылы тұрғызылған параллелограммның биіктігі ретінде анықталады.

Кеңістіктегі түзу мен жазықтық

Кеістіктегі түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш деп түзу мен оның жазықтықтағы проекциясы арасындағы бұрышты айтады:

а) Параллельдік шарты: .

б) Перпендикулярлық шарты: .

Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін табу үшін олардың теңдеулерін біріктіріп шешеміз.

Мысалдар: 1. нүктесінен өтетін және YOZ жазықтығына паралллель болатын жазықтықтың теңдуін табыңыз.

Шешуі: YOZ жазықтығына параллель жазықтықтың теңдеуі болады. Есеп шарты бойынша нүктесі ізделінді жазықтықтың бойында жатыр, сондықтан оның координаттары жазықтық теңдеуін қанағаттандырады, яғни немесе -ның орнына -2 А -ны қоямыз. Сонда немесе . Бұл іздеп отырған жазықтық теңдеуі болады.

2. нүтесінен жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

Шешуі: , .

Бақылау сұрақтары:

1. Кеңістіктегі түзудің бағыттауыш векторы дегеніміз не?

2. Жазықтықтың жалпы теңдеуін жазыңыз. Ондағы коэффициенттер нені білдіреді?

3. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты қалай есептейді?

Негізгі әдебиет: [4], 4 тарау, § 4.1-4.16 (183-217 беттер).

Қосымша әдебиет: [17], 2 тарау, § 2.17-2.21 (103-118 беттер).