Преобразование спектра при дискретизации сигналов

Рассмотрим равномерную дискретизацию сигнала x(t), выполняемую с помощью импульсного элемента (ИЭ) (рис. 1.18). Как видно из рис. 1.18, импульсный элемент представляет собой ключ, который периодически замыкается через интервалы времени . Время замкнутого состояния контактов ключа бесконечно мало. В результате на выходе импульсного элемента формируются отсчеты входного сигнала.

Рис 1.18. Дискретизация непрерывного сигнала

В этом случае дискретный сигнал на выходе ИЭ можно представить в виде произведения исходного сигнала и дискретизирующей последовательности импульсов

. (6)

Дискретизирующая последовательность

(7)

состоит из дельта-импульсов, которые следуют с периодом T₀. Разложим в ряд Фурье по системе комплексных экспоненциальных функций

. (8)

Коэффициенты c_k определятся из соотношения

. (9)

Тогда импульсный сигнал x _д (t), получаемый в результате дискретизации, можно описать следующим образом:

. (10)

Воспользовавшись интегральным преобразованием Фурье, находим выражение для спектральной плотности дискретного сигнала x _д (t):

, (11)

где X(ω) - спектральная плотность исходного не дискретизированного сигнала x(t).

Таким образом, спектральная плотность X _д(ω) дискретного сигнала x _д(t), соответствующего непрерывному сигналу x(t), равна сумме спектральных плотностей X(ω), сдвинутых на величину k2π/T₀, т. е. спектр дискретного сигнала является периодическим по частоте с периодом ω₀=2π/T₀ (рис. 1.19).

Рис.1.19 Спектр дискретного сигнала

Для изображенного на рис. 1.19. случая, когда граничная частота спектра исходного непрерывного сигнала удовлетворяет условию ω_В≤ω₀/2, не происходит наложения соседних членов ряда (1.151). В том случае, когда соотношение ω_В≤ω₀/2 не выполняется, возникает наложение спектральных составляющих, что приводит к погрешностям при обработке сигналов (рис.1.20).

Рис.1.20 Наложение спектральных составляющих

Для исключения наложения спектральных составляющих обычно перед дискретизацией спектр исходного непрерывного сигнала ограничивают по частоте, пропуская его через аналоговый ФНЧ, который задерживает все составляющие, частоты которых превышают значение ω₀/2.