Интегралы от иррациональных функций

Далеко не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций (два самых простых случая).

1) Рассмотрим интеграл , где R - рациональная функция своих аргументов. Для сведения подынтегральной функции к рациональной необходимо сделать подстановку где k – общий знаменатель дробей . Тогда каждая дробная степень x выразится через целую степень t и, следовательно вся подынтегральная функция преобразуется в рациональную.

Пример 6. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Общий знаменатель дробей ½, 3/4 есть 4; поэтому делаем подстановку тогда

2) Рассмотрим интеграл . Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где k – общий знаменатель дробей .

Пример 7. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Делаем подстановку тогда