Передаточные функции

Поскольку передаточные функции полосно-пропускающих фильтров получаются с помощью использования преобразования вида (1) соответствующих функций нижних частот, то передаточная функция полосно-пропускающего фильтра будет состоять из произведения сомножителей, каждый из которых получается из сомножителя функции нижних частот. Для сомножителя функции нижних частот первого порядка

(3)

соответствующий сомножитель полосно-пропускающего фильтра представляет собой функцию второго порядка вида

, (4)

где С – нормированный коэффициент соответствующего звена нижних частот первого порядка, приведенный в прил. 1 для фильтров Баттерворта и Чебышева.

Полосно-пропускающий фильтр второго порядка получается в том случае, когда соответствующий фильтр нижних частот имеет первый порядок. Таким образом, эта функция нижних частот описывается единственным уравнением (3) с С = 1. В этом случае из (4 получаем передаточную функцию

(5)

полосно-пропускающего фильтра второго порядка.

Передаточную функцию вида (5) можно определить как функцию полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева второго порядка, поскольку уравнение (3) при С = 1 описывает функцию Баттерворта или масштабированную функцию Чебышева нижних частот первого порядка.

Получаемые из функций нижних частот второго порядка сомножители передаточных функций полосно-пропускающих фильтров Баттерворта или Чебышева имеют следующий вид:

, (6)

где В и С – соответствующие коэффициенты нижних частот (прил. 1).

В (4) значение K определяет коэффициент усиления звена, а в (6)
K – общий коэффициент усиления двух звеньев второго порядка, соединенных каскадно для реализации функции четвертого порядка.

Передаточную функцию, заданную уравнением (6), можно представить в виде произведения двух функций второго порядка

(7)

и

, (8)

где

; (9)

. (10)

Таким образом, для каждого сомножителя второго порядка в соответствующем фильтре нижних частот передаточная функция полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева с порядком n = 4, 6, 8, … будет содержать сомножители, один из которых описывается уравнением (7), а другой – уравнением (8); K ₁ и K ₂ представляют собой коэффициенты усиления двух полосно-пропускающих звеньев и должны выбираться таким образом, чтобы K ₁ K ₂ = K.

Типовую передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка или звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева более низкого порядка можно записать в следующем виде:

, (11)

где параметры r, b и g получаются с помощью приравнивания уравнения (11) к соответствующим уравнениям (5), (6), (8) или (9).

Интересно отметить, что параметр Е представляет собой добротность Q каждого звена (см. (7) и (8)). Как и для фильтров нижних частот и верхних частот, для реализации высоких значений Q обычно требуются высококачественные схемы.

3. Полосно-пропускающие фильтры с многопетлевой
обратной связью и бесконечным коэффициентом усиления

Схема с многопетлевой обратной связью (МОС) и бесконечным коэффициентом усиления, изображенная на рис. 4, представляет собой один из наиболее простых полосно-пропускающих фильтров второго порядка.

Рис. 4. Схема полосно-пропускающего фильтра с МОС и бесконечным
коэффициентом усиления

Она реализует функцию полосно-пропускающего фильтра (11) при инвертирующем коэффициенте усиления (для r > 0 получаем значение – r), где

(12)

При заданных параметрах w₀, r, b и g значения сопротивлений определяются из следующих соотношений:

(13)

Можно выбрать значения емкостей С ₁ (близкое к значению 10/ f ₀ мкФ) и С ₂ так, чтобы R ₂ > 0, и определить значения сопротивлений. Значение емкости С ₂ находится из условия

. (14)

Пример. Предположим, что необходимо реализовать полосно-пропуска­ющий фильтр второго порядка с центральной частотой f ₀ = 1000 Гц, Q = 5 и коэффициентом усиления K = 2. Передаточная функция, задаваемая уравнением (4), имеет вид

.

Сравнивая ее с (11), находим, что r = 0,4, b = 0,2 и g = 1.
Выбирая С ₁ = 10/ f ₀ = 0,01 мкФ из уравнения (14), получаем

.

Следовательно, допустимо любое положительное значение емкости С₂. Тогда, выбирая С ₂ = 0,01 мкФ, из (13) получаем R ₁ = 39,79 кОм;
R ₂ = 1,66 кОм; R ₃ = 159,15 кОм.

Полосно-пропускающий фильтр с МОС, подобно его аналогам нижних и верхних частот, обладает минимальным числом элементов, инвертирующим коэффициентом усиления и способностью обеспечивать значение добротности Q < 10 при небольших коэффициентах усиления.