Моделирование работы нечеткой системы

Цель работы: ознакомить студентов с основными понятиями нечеткой логики и научить практическим навыкам разработки нечетких систем в среде Fuzzy Logic системы Matlab.

1 Теоретические сведения

1.1 Основные понятия нечеткой логики

Главная идея нечеткой логики (Fuzzy Logic) состоит в том, что интеллектуальный способ рассуждений, опирающийся на естественный язык общения человека, не может быть описан в рамках традиционных математических формул. Формальному подходу присуща строгая однозначность интерпретации, а все, что связано с применением естественного языка, имеет многозначную интерпретацию. Прилагательное «fuzzy», которое переводится на русский язык как «размытый», «ворсистый», «нечеткий», введено в название новой теории, чтобы разграничить ее с традиционной четкой математикой и аристотелевой логикой, оперирующих с четкими понятиями: «истина – ложь», «включено - не включено». Основатель современной концепции нечеткой логики профессор Л. Заде (L. Zaden) построил новую математическую дисциплину, в основе которой лежит не классическая теория множеств, а теория нечетких множеств. Последовательно проводя идею нечеткости, можно описать нечеткие аналоги всех основных математических понятий и создать аппарат нечеткой логики (НЛ) для моделирования человеческих рассуждений и способов решения задач.

Нечеткое множество - это формализация лингвистической информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать им в различной степени, и, следовательно, принадлежать к этому множеству с различной степенью.

Сущность НЛ сводится к следующим моментам:

- в ней используются лингвистические переменные (вместо обычных числовых) или в дополнение к ним;

- простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний;

- сложные отношения определяются нечеткими алгоритмами.

Практическое использование НЛ предполагает наличие функций принадлежности (ФП), которыми описываются лингвистические переменные «малый», «средний», горячий» и т.д. Под ФП будем понимать кривую, указывающую, каким образом каждая точка входного пространства отображается в степень принадлежности между 0 и 1. Для нахождения ФП могут быть использованы различные методы, например: прямые; косвенные; посредством типовых форм; по данным эксперимента. Рекомендуется использовать типовые формы ФП, в частности, треугольные, трапециевидные, гауссовы и другие. Форма ФП определяется разработчиком системы, исходя из условий простоты, удобства и эффективности использования. Например, в модуле Fuzzy Logic системы Matlab, применяемого для решения задач посредством НЛ, имеется одиннадцать стандартных видов ФП.

1.2 Система нечеткого логического вывода

Нечеткий логический вывод - это аппроксимация зависимости «входы - выход» на основе лингвистических высказываний «если - то» и логических операций над нечеткими множествами. Типовая структура системы нечеткого вывода показана на рис.1.

Рисунок 1 - Система нечеткого логического вывода

(1 – фаззификатор; 2 -функции принадлежности; 3 - нечеткая база знаний; 4 - машина нечеткого логического вывода; 5 - дефаззификатор)

Система логического вывода содержит следующие модули:

· фаззификатор - преобразует фиксированный вектор влияющих факторов Х в вектор нечетких множеств , необходимых для нечеткого вывода;

· функции принадлежности - используются для представления лингвистических термов в виде нечетких множеств;

· нечеткая база знаний - содержит информацию о зависимости Y = f ( X ) в виде лингвистических правил: если - то;

· машина нечеткого логического вывода - на основе базы знаний определяет значение выходной переменной в виде нечеткого множества , соответствующего нечетким значениям входных переменных ;

· дефаззификатор - преобразует выходное нечеткое множество в четкое число Y.

Ввиду важности базы знаний рассмотрим ее более подробно. Эта база задает взаимосвязь между входами и выходами исследуемого объекта в таком формате:

ЕСЛИ (посылка правила), ТО (заключение правила).

Посылка правила представляет собой утверждение типа «х есть малый», где «малый» - это терм, заданный нечетким множеством на универсальном множестве лингвистической переменной х. Заключение правила - это факт типа «у есть d», в котором значение выходной переменной может задаваться нечетким термом («у есть большой»), классом решений («у есть надежный заемщик»), четкой константой («у = 5»).

Многомерные зависимости «входы – выходы» задаются нечеткими правилами с логическими операциями И или ИЛИ. Нечеткую базу знаний, связывающую входы Х = (х₁, х₂,..., х_n) с выходом у, представим следующим образом:

(1)

где - нечеткий терм, которым оценивается переменная х_i в j -м правиле, ; d_i - заключение j –го правила; m - количество правил в базе знаний; Θ_j - логическая операция (И или ИЛИ); - нечеткая импликация.

В машине нечеткого вывода часто используется логический вывод Мамдани, названный так в честь английского ученого, который впервые предложил нечеткий контроллер для модели парового двигателя. Этот вывод выполняется по базе знаний (1), в которой все значения входных и выходной переменных заданы нечеткими множествами. База знаний Мамдани может трактоваться как разбиение пространства влияющих факторов на подобласти с размытыми границами, внутри которых функция отклика принимает нечеткое значение. Правило в базе знаний представляет собой «информационный сгусток», отражающий одну из особенностей зависимостей «входы – выход».

В результате логического вывода по j – му правилу базы знаний получим нечеткое значение выходной переменной у. Результат логического вывода по всей базе знаний находят агрегированием нечетких множеств, т.е. посредством операции максимума всех выходных множеств.

Четкое значение выхода, соответствующее данному входному вектору, определяется путем дефаззификации суммарного выходного нечеткого множества. Наиболее часто применяется способ дефаззификации по методу центра тяжести, при котором четкий выход определяется как абсцисса центра тяжести фигуры, изображающей выходное нечеткое множество.

2 Работа на компьютере

Выполнение данной работы производится с программным модулем Fuzzy Logic системы Matlab, версия 7.01. Схема работы с этой системой показана на рис.2.