Если в определителе поменять местами любые две строки (или любые два столбца), то определитель изменяет знак

Покажем действие свойства на примере определителя 3-го порядка.

.

Здесь над определителем проведены следующие преобразования:

1) в заданном определителе поменяли местами 1-й и 3-й столбцы;

2) во втором определителе поменяли местами 2-ю и 3-ю строчки.

Определитель не меняет своего значения, если к любой его строке прибавить любую другую строку, умноженную на некоторое число. Аналогичное действие применимо к столбцам определителя, т.е. определитель также не меняет своего значения, если к любому его столбцу прибавить любой другой столбец, умноженный на некоторое число.

Приведем действие свойства на примере определителя 4-го порядка.

.

Здесь к определителю последовательно проведены следующие преобразования:

1) ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1);

2) затем в полученном (втором определителе) ко 2-й строке прибавили 4-ю строку, умноженную на число (-2).

В результате этих действий пришли к новому (третьему) определителю, содержащему пять нулевых элементов.

Очевиден следующий факт: чем больше нулевых элементов в определителе, тем проще его вычисление.