Момент импульса и момент инерции тела относительно оси. Уравнение моментов. Закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера

Рассмотрим вращательное движение частицы (материальной точки) вокруг оси Z (рис. 9.1,ось Z перпендикулярна плоскости рисунка). В дальнейшем будем рассматривать вращение относительно оси, направление которой в пространстве не меняется.

Скорость частицы v перпендикулярна радиусу вращения R. Следовательно, согласно обозначениям §8

Из (8.11) получим:

. Так как , то

(9.1)

Величина:

(9.2)

называется моментом инерции точки относительно оси вращения. Из (9.1) и (9.2) следует:

(9.3)

В общем случае частица имеет ускорение , создавамое силой (рис 9.1). Запишем второй закон Ньютона:

Для неменяющегося в пространстве направления оси вращения (т.е для рассматриваемого случая)

(9.4)

Помножим (9.4) на R:

Учитывая (8.7) и (9.2), получим

(9.5)

Уравнение (9.5) обычно называют законом динамики вращательного движения материальной точки. Так как

С учетом (9.3) из последнего соотношения находим:

(9.6)

Рассмотрим твердое тело как систему, состоящую из множества частиц. Запишем уравнение (9.6) для каждой из них:

, (9.7)

где i - номер частицы. Сложим эти уравнения:

(9.8)

Обозначим

(9.9)

где момент силы относительно оси, действующий на тело, момент импульса тела. Следует учесть, что при вычислении моменты внутренних сил сократятся. Поэтому - суммарный
момент внешних сил относительно оси вращения. Таким образом

(9.10)

Уравнение (9.10) обычно называют правилом моментов.

Из (9.9) и (9.3) получим: , (9.11)

, (9.12)

где - соответственно масс и радиус вращения i-ой точки.
Т.к. угловая скорость всех точек твердого тела одинаковая и равна угловой скорости вращения твердого тела, индекс “i“ у в ур-нии (9.11) не пишется (угловое ускорение для всех точек тоже одинаковое). Из (9.11) и (9.12) следует

(9.13)

Величин

(9.14)

называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Видно, что зависит от положения оси вращения относительно тела, т.к. от этого зависит . Следовательно, для различных осей разное. Для данной оси абсолютно твердого тела не зависит от скорости вращения т.к. взаимное расположение частиц такого тела не меняется и, следовательно, от скорости не зависит.

Подставим (914) в (9.13)

(9.15)

Таким образом, момент импульса тела равен произведению момента инерции тела на угловую скорость вращения.

Подставим (9.15) в (9.10):

Т.к

(9.16)

т.е. момент силы действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на его угловое ускорение. Уравнение (9.16) обычно называют законом динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Из изложенного следует, что момент инерции тела надо каждый раз рассчитывать для той оси, относительно которой тело вращается. Есть таблицы (в учебниках, пособиях и задачниках) в которых приводятся формулы для расчета некоторых тел относительно определенных осей вращения (обычно для осей, проходящих через центр тяжести).

Пусть известен момент инерции I_z,0 относительно некоторой оси, проходящий через центр тяжести “C” (ось Z_o на рисунке 9.2). Надо найти I_z относительно другой оси Z, параллельной оси Z_o. Согласно теореме Штейнера, I_z равен:

(9.17),

где m - масса тела, a - расстояние между осями.

Следует также учесть, что любое тело можно представить как “сумму” нескольких тел (например, на рис.9.3 - как два тела). Тогда: , где первая сумма берется для части 1, вторая - части 2.

m2 m1 рис 9.3

Из определения момента инерции, следует:

;

где I_z,1 и I_z,2- моменты инерции 1-ой и 2-ой части. Поэтому

Аналогичные рассуждения справедливы для “разбиения” абсолютно твердого тела на любое число частей. Следовательно, для тел сложной формы можно искать моменты инерции каждой из выделенных “частей “ и затем их сложить.Такое свойство физических величин называется адитивностью. Момент инерции тела относительно данной оси является величиной адитивной. (Напомним, что масса тела тоже величина адитивная. Например, для рис.9.3 масса тела m равна
m = m₁ + m₂).

Основные формулы поступательного и
вращательного движения.

Поступательное движение	Вращательное движение
величина, закон	формула	величина, закон	формула
изменение положения точи	;	изменение положения точки
скорость поступательного движения		скорость вращательного движения
ускорение при поступательном движении		ускорение при вращательном движении
масса	m	момент инерции
сила		момент силы
импульс		момент импульса
Второй закон Ньютона		Закон динамики вращательного движения. Правило моментов
* Работа		Работа
* Кинетическая энергия		Кинетическая энергия

(* Последние две темы см. § 10)