Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой на плоскости

Ax+By+C=0;

Уравнение прямой в отрезках .

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки .

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом к оси Ох ():

Расстояние от точки до прямой

1.

2.

3.

Окружность

Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R

Уравнение окружности с центром в начале координат

Эллипс

Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, , чем расстояние между фокусами.

Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F₁ и F₂; 2а – сумма расстояний от точки М до F₁ и F₂ (a – большая полуось эллипса). - малая полуось эллипса. .

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид .

Число называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.

Гипербола

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) – точка гиперболы; F₁, F₂ – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов , где а – действительная полуось гиперболы. - мнимая полуось гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы .

Гипербола пересекает ось Ох в точках и , с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

Эксцентриситет гиперболы .

Парабола

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид .

Эксцентриситет параболы - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.

Общее уравнение второго порядка

- общее уравнение кривой второго порядка

Параллельный перенос: .

Поворот осей:

- инварианты. - дискриминант

Если >0, то уравнение эллиптического вида

Если <0, то уравнение гиперболического типа

Если =0, то уравнение параболического типа

Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда

(1) (B=0)

1. . Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов .(**) ** подставляем в (1) +

(2) (3)

а) >0 – эллиптический вид

A`C`>0 (одного знака)

Если F``>0, то пустое множество

Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)

Если F``<0, то получим эллипс в виде , где

б) <0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0

A`= , , , тогда .

Если F₀=0, то , получаем пару пересекающихся прямых.

Если F₀>0, то (гипербола)

Если F₀<0, то (гипербола, где оси поменялись местами)

в) (параболический тип) A`C`=0

(5)

а) D`=E`=0, пусть

б)

** в (5)

, где 2р= , если p>0, то парабола .