Тема № 2 Системы линейных алгебраических уравнений

§ 2.1. Система линейных алгебраических уравнений, содержащей n уравнений и n неизвестных

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей n уравнений и n неизвестных, называется система вида

(1),

где a_ij, i = 1,2,… n; j = 1,2,…n - коэффициенты системы, b_i, i = 1,2,… n - свободные члены, x_i, i = 1,2,… n - неизвестные, подлежащие нахождению.

Более удобной формой записи системы линейных уравнений (1) является матричная форма

A·X = B, (2)

где А - квадратная матрица n -го порядка, X – вектор столбец из неизвестных x_i, i = 1,2,… n, B – вектор-столбец из свободных членов b_i, i = 1,2,… n.

Система уравнений (1) имеет единственное решение, если матрица А невырожденная, т.е. если определитель матрицы А отличен от нуля: D ¹ 0. Решение матричного уравнения (2) находится следующим образом:

A^{- 1} AX = A^{- 1} B, EX = A^{- 1} B, X = A^{- 1} B. (3)

Решение X = A^{- 1} B справедливо не только для векторов столбцов X и B, но и для произвольных матриц X и B, удовлетворяющих уравнению (2).